与えられた式 $ab(b-a) + bc(c-b) + ca(a-c)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(b-a) + bc(c-b) + ca(a-c)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(b-a) + bc(c-b) + ca(a-c) = ab^2 - a^2b + bc^2 - b^2c + ca^2 - c^2a$

次に、この式を $a$ について整理します。

$ca^2 - a^2b - c^2a + ab^2 + bc^2 - b^2c = (c-b)a^2 + (b^2 - c^2)a + (bc^2 - b^2c)$

さらに、因数分解できる部分を見つけます。

$= (c-b)a^2 + (b-c)(b+c)a + bc(c-b)$

$c-b$ を共通因数としてくくりだします。

$= (c-b)[a^2 - (b+c)a + bc]$

括弧の中身を因数分解します。

$= (c-b)(a-b)(a-c)$

最後に、符号を調整してより一般的な形にします。

$= -(b-c)(a-b)(a-c) = (a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(b-c)(c-a)$