与えられた式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、各項を展開します。

$ab(a+b) = a^2b + ab^2$

$bc(b+c) = b^2c + bc^2$

$ca(c+a) = c^2a + ca^2$

したがって、与えられた式は

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

となります。

次に、この式を因数分解します。

この式は $(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開したものに等しくなります。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc + c^2 + b^2 + bc) = (a+b)(b^2 + c^2 + 2bc) = abc + ac^2 + 2abc + b^3 + bc^2 + 2b^2c$

$(a+b)(bc+c^2+b^2+bc) = (ab^2+ac^2+b^3+bc^2+2abc)$

$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a - abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+3abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

したがって、

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$