次の2つの対数の値を求めます。 (1) $\log_4 8 = \frac{\text{(ア)}}{\text{(イ)}}$ (2) $\log_2 3 \times \log_3 4 = \text{(ア)}$

1. 問題の内容

次の2つの対数の値を求めます。

(1) $\log_4 8 = \frac{\text{(ア)}}{\text{(イ)}}$

(2) $\log_2 3 \times \log_3 4 = \text{(ア)}$

2. 解き方の手順

(1) $\log_4 8$ を計算します。

まず、4と8を2の累乗で表します。

$4 = 2^2$

$8 = 2^3$

よって、$\log_4 8 = \log_{2^2} 2^3$

対数の底の変換公式 $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$ を用いると、

$\log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2} \log_2 2 = \frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2}$

したがって、$\log_4 8 = \frac{3}{2}$

分子は3、分母は2です。

(2) $\log_2 3 \times \log_3 4$ を計算します。

対数の底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いると、

$\log_3 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 3}$

したがって、$\log_2 3 \times \log_3 4 = \log_2 3 \times \frac{\log_2 4}{\log_2 3} = \log_2 4$

$4 = 2^2$ なので、$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2 \log_2 2 = 2 \times 1 = 2$

したがって、$\log_2 3 \times \log_3 4 = 2$

3. 最終的な答え

(1)の(ア): 3

(1)の(イ): 2

(2)の(ア): 2