定積分 $\int_{-2}^{2} (a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0) dx$ を計算します。ここで、$a_3, a_2, a_1, a_0$ は定数です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{2} (a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0) dx$ を計算します。ここで、$a_3, a_2, a_1, a_0$ は定数です。

2. 解き方の手順

定積分の性質を利用して、各項を個別に積分し、積分範囲を代入して計算します。

まず、多項式を積分します。

$\int (a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0) dx = a_3 \frac{x^4}{4} + a_2 \frac{x^3}{3} + a_1 \frac{x^2}{2} + a_0 x + C$

次に、積分範囲を代入して定積分を計算します。

$\int_{-2}^{2} (a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0) dx = [a_3 \frac{x^4}{4} + a_2 \frac{x^3}{3} + a_1 \frac{x^2}{2} + a_0 x]_{-2}^{2}$

$= (a_3 \frac{2^4}{4} + a_2 \frac{2^3}{3} + a_1 \frac{2^2}{2} + a_0 (2)) - (a_3 \frac{(-2)^4}{4} + a_2 \frac{(-2)^3}{3} + a_1 \frac{(-2)^2}{2} + a_0 (-2))$

$= (a_3 \frac{16}{4} + a_2 \frac{8}{3} + a_1 \frac{4}{2} + 2a_0) - (a_3 \frac{16}{4} + a_2 \frac{-8}{3} + a_1 \frac{4}{2} - 2a_0)$

$= (4a_3 + \frac{8}{3}a_2 + 2a_1 + 2a_0) - (4a_3 - \frac{8}{3}a_2 + 2a_1 - 2a_0)$

$= 4a_3 + \frac{8}{3}a_2 + 2a_1 + 2a_0 - 4a_3 + \frac{8}{3}a_2 - 2a_1 + 2a_0$

$= \frac{16}{3}a_2 + 4a_0$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{3}a_2 + 4a_0$