$\int \frac{1 - \cos(8x)}{1 + \cos(8x)} dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int \frac{1 - \cos(8x)}{1 + \cos(8x)} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

三角関数の半角の公式を利用します。

$1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$

$1 + \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta)$

したがって、

$\frac{1 - \cos(8x)}{1 + \cos(8x)} = \frac{2\sin^2(4x)}{2\cos^2(4x)} = \tan^2(4x)$

ここで、$\tan^2(4x) = \sec^2(4x) - 1$を利用すると、

$\int \frac{1 - \cos(8x)}{1 + \cos(8x)} dx = \int \tan^2(4x) dx = \int (\sec^2(4x) - 1) dx$

$\int \sec^2(4x) dx = \frac{1}{4} \tan(4x) + C_1$

$\int 1 dx = x + C_2$

したがって、

$\int (\sec^2(4x) - 1) dx = \frac{1}{4} \tan(4x) - x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}\tan(4x) - x + C$