与えられた積分の問題を解きます。 積分は $\int \frac{\sin{4x}}{\cos^2{4x}} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。

積分は $\int \frac{\sin{4x}}{\cos^2{4x}} dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を使って問題を解きます。

$u = \cos{4x}$ と置くと、$du = -4\sin{4x} dx$ となります。

よって、$\sin{4x} dx = -\frac{1}{4} du$ です。

これらを積分に代入すると、

$\int \frac{\sin{4x}}{\cos^2{4x}} dx = \int \frac{1}{u^2} (-\frac{1}{4}) du = -\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^2} du$

となります。

$-\frac{1}{4} \int u^{-2} du = -\frac{1}{4} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u} + C$

となります。

$u$ を $\cos{4x}$ に戻すと、

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos{4x}} + C = \frac{1}{4} \sec{4x} + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\int \frac{\sin{4x}}{\cos^2{4x}} dx = \frac{1}{4} \sec{4x} + C$