与えられた微分方程式 $y' + 4y = 3e^{-4x}$ の一般解を求め、初期条件 $x = 0$ のとき $y = 1$ を満たす解を、選択肢の中から選び出す問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' + 4y = 3e^{-4x}$ の一般解を求め、初期条件 $x = 0$ のとき $y = 1$ を満たす解を、選択肢の中から選び出す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を解きます。これは1階線形微分方程式なので、積分因子を求める方法で解くことができます。

ステップ1: 積分因子を求める

積分因子 $\mu(x)$ は、

$\mu(x) = e^{\int 4 dx} = e^{4x}$

となります。

ステップ2: 微分方程式の両辺に積分因子をかける

$e^{4x} y' + 4e^{4x} y = 3e^{-4x} e^{4x}$

$e^{4x} y' + 4e^{4x} y = 3$

ステップ3: 左辺を積の微分としてまとめる

$\frac{d}{dx} (e^{4x} y) = 3$

ステップ4: 両辺を積分する

$\int \frac{d}{dx} (e^{4x} y) dx = \int 3 dx$

$e^{4x} y = 3x + C$

（ここで、$C$は積分定数です）

ステップ5: 一般解を求める

$y = (3x + C) e^{-4x}$

ステップ6: 初期条件を適用する

$x = 0$ のとき $y = 1$ なので、

$1 = (3(0) + C) e^{-4(0)}$

$1 = C \cdot 1$

$C = 1$

ステップ7: 特定解を求める

したがって、初期条件を満たす解は、

$y = (3x + 1) e^{-4x}$

3. 最終的な答え

3. $y = (3x + 1) e^{-4x}$