与えられた2つの積分を公式14.6を用いて計算します。 (1) $\int \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$ (2) $\int \frac{2}{\sqrt{x^2-3}} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの積分を公式14.6を用いて計算します。

(1) $\int \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$

(2) $\int \frac{2}{\sqrt{x^2-3}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$

まず、積分定数を無視して、定数を外に出します。

$6 \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx$

ここで、$9 = 3^2$なので、$\int \frac{1}{\sqrt{3^2-x^2}} dx$という形になります。

公式 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$ を用います。

$a=3$を代入すると、$\int \frac{1}{\sqrt{3^2-x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{3}) + C$

したがって、$6 \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx = 6 \arcsin(\frac{x}{3}) + C$

(2) $\int \frac{2}{\sqrt{x^2-3}} dx$

まず、積分定数を無視して、定数を外に出します。

$2 \int \frac{1}{\sqrt{x^2-3}} dx$

ここで、$3 = (\sqrt{3})^2$なので、$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-(\sqrt{3})^2}} dx$という形になります。

公式 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \log |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C$ を用います。

$a = \sqrt{3}$を代入すると、$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-(\sqrt{3})^2}} dx = \log |x + \sqrt{x^2 - 3}| + C$

したがって、$2 \int \frac{1}{\sqrt{x^2-3}} dx = 2 \log |x + \sqrt{x^2 - 3}| + C$

3. 最終的な答え

(1) $6 \arcsin(\frac{x}{3}) + C$

(2) $2 \log |x + \sqrt{x^2 - 3}| + C$