与えられた式 $9x^2 - 30ax - 24a^2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $9x^2 - 30ax - 24a^2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を因数分解するために、たすき掛けを試みます。

$9x^2 - 30ax - 24a^2$

$9x^2$ の係数9と、$-24a^2$の係数-24に着目します。

9を掛けて-24になる組み合わせを考え、それらをたすき掛けして$-30a$になるようにします。

考えられる9の組み合わせ：(1, 9), (3, 3)

考えられる-24の組み合わせ：(1, -24), (-1, 24), (2, -12), (-2, 12), (3, -8), (-3, 8), (4, -6), (-4, 6)

これらの組み合わせを試してみると、(3x, 4a)と(3x, -6a)の組み合わせがうまくいきそうです。

$3x \times -6a = -18ax$

$3x \times 4a = 12ax$

$-18ax + 12ax = -6ax$となり、$-30ax$にはならないので、この組み合わせは違います。

(3x, -8a)と(3x, 3a)の組み合わせを試してみます。

$3x \times 3a = 9ax$

$3x \times -8a = -24ax$

$9ax -24ax = -15ax$となり、$-30ax$にはならないので、この組み合わせは違います。

係数を小さくするために3で括り出せるか試してみます。

$3(3x^2 - 10ax - 8a^2)$

今度は$3x^2 - 10ax - 8a^2$を因数分解することを考えます。

$3x^2$の係数3と、$-8a^2$の係数-8に着目します。

3の組み合わせ：(1, 3)

-8の組み合わせ：(1, -8), (-1, 8), (2, -4), (-2, 4)

(x, -4a)と(3x, 2a)の組み合わせを試してみます。

$x \times 2a = 2ax$

$3x \times -4a = -12ax$

$2ax - 12ax = -10ax$となり、期待する値になったので、この組み合わせで因数分解できます。

したがって、$3x^2 - 10ax - 8a^2 = (x - 4a)(3x + 2a)$

よって、$9x^2 - 30ax - 24a^2 = 3(x - 4a)(3x + 2a)$

3. 最終的な答え

$3(x-4a)(3x+2a)$