一次関数 $y=f(x)$ と二次関数 $y=g(x)$ のグラフが与えられている。合成関数 $y = (f \circ g)(x)$ のグラフの説明として正しいものを、選択肢の中からすべて選ぶ。

1. 問題の内容

一次関数 $y=f(x)$ と二次関数 $y=g(x)$ のグラフが与えられている。合成関数 $y = (f \circ g)(x)$ のグラフの説明として正しいものを、選択肢の中からすべて選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、$y = (f \circ g)(x) = f(g(x))$ であることを確認する。

グラフから、$f(x)$ は一次関数で、減少関数であることがわかる。$g(x)$ は二次関数で、下に凸の放物線であることがわかる。

$f(x)$ を $f(x) = ax+b$、$g(x)$ を $g(x) = c(x-p)^2 + q$ ($c>0$) のように表すことができる。すると、

$$$$

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = a(c(x-p)^2 + q) + b = ac(x-p)^2 + aq + b

$$$$

となる。ここで、$a < 0$ であるので、$ac < 0$ となる。したがって、$(f \circ g)(x)$ は上に凸の放物線となる。

$y = (f \circ g)(x)$ の頂点の $x$ 座標は $p$ であり、グラフから、$g(x)$ の頂点の $x$ 座標は $x=b$ に対応している。したがって、$y = (f \circ g)(x)$ の軸は $x = b$ であるから、放物線の軸はy軸ではない。

また、$y = (f \circ g)(x)$ は $x$ 軸に接しているとは限らない。$y = (f \circ g)(x)$ は点 (a,c) を通るとは限らない。 $y = (f \circ g)(x)$ は点 (b,d) を通るとは限らない。

選択肢を吟味する。

1. 上に凸の放物線である：正しい (上記より)。

2. 下に凸の放物線である：誤り (上に凸である)。

3. 放物線の軸は $y$ 軸である：誤り (放物線の軸は $x=b$ である)。

4. $x$ 軸に接する：誤り（接するとは限らない）。

5. 点 $(a, c)$ を通る：誤り

6. 点 $(b, d)$ を通る：誤り

したがって、正しいのは①のみである。

3. 最終的な答え

1