$\left(\sin 75^\circ + \cos 75^\circ\right)^2 + \left(\sin 15^\circ - \cos 15^\circ\right)^2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\left(\sin 75^\circ + \cos 75^\circ\right)^2 + \left(\sin 15^\circ - \cos 15^\circ\right)^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を展開します。

$\left(\sin 75^\circ + \cos 75^\circ\right)^2 = \sin^2 75^\circ + 2\sin 75^\circ \cos 75^\circ + \cos^2 75^\circ$

$\left(\sin 15^\circ - \cos 15^\circ\right)^2 = \sin^2 15^\circ - 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ + \cos^2 15^\circ$

三角関数の公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用すると、

$\sin^2 75^\circ + \cos^2 75^\circ = 1$

$\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ = 1$

したがって、元の式は以下のように書き換えられます。

$\left(1 + 2\sin 75^\circ \cos 75^\circ\right) + \left(1 - 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ\right)$

次に、倍角の公式 $2\sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ を利用します。

$2\sin 75^\circ \cos 75^\circ = \sin (2 \times 75^\circ) = \sin 150^\circ$

$2\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin (2 \times 15^\circ) = \sin 30^\circ$

したがって、元の式は以下のように書き換えられます。

$\left(1 + \sin 150^\circ\right) + \left(1 - \sin 30^\circ\right)$

$\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ であるから、

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ であるから、

$\left(1 + \frac{1}{2}\right) + \left(1 - \frac{1}{2}\right) = 1 + \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} = 2$

3. 最終的な答え

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