平行四辺形ABCDにおいて、$AB = AD$のとき、$AC \perp DB$であることをベクトルを用いて証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB = AD$のとき、$AC \perp DB$であることをベクトルを用いて証明する。

2. 解き方の手順

ベクトル$\vec{a} = \vec{AB}$、$\vec{b} = \vec{AD}$とおく。

平行四辺形であることから$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$

また、$\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} = \vec{a} - \vec{b}$である。

$AC \perp DB$を示すには、$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = 0$を示す必要がある。

$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$

問題文より、$AB = AD$なので、$|\vec{a}| = |\vec{b}|$である。

したがって、$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$となる。

よって、$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$となる。

したがって、$AC \perp DB$が示された。

3. 最終的な答え

$AB = AD$のとき、$AC \perp DB$が成り立つ。