原点O, A(-2, 4), B(6, 6)を頂点とする三角形OABがある。 (1) 2点O, Aを通る直線の式を求める。 (2) 点Pはx軸上にあり、x座標の値が正の点である。AとPを結び、三角形OABと三角形OAPの面積が等しくなるとき、Pのx座標を求める。 (3) x軸上にx座標の値が負の点Qを、三角形OABと三角形OAQの面積が等しくなるようにとる。点Qのx座標を求める。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

原点O, A(-2, 4), B(6, 6)を頂点とする三角形OABがある。

(1) 2点O, Aを通る直線の式を求める。

(2) 点Pはx軸上にあり、x座標の値が正の点である。AとPを結び、三角形OABと三角形OAPの面積が等しくなるとき、Pのx座標を求める。

(3) x軸上にx座標の値が負の点Qを、三角形OABと三角形OAQの面積が等しくなるようにとる。点Qのx座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

2点O(0, 0), A(-2, 4)を通る直線の式を $y = ax$ とおく。

点Aの座標を代入すると、

$4 = a \times (-2)$

$a = -2$

よって、求める直線の式は

$y = -2x$

(2)

三角形OABの面積を求める。三角形OABの面積は、点Bから直線OAまでの距離を高さ、線分OAを底辺とすることで求めることができる。

直線OAの方程式は $y = -2x$ すなわち $2x + y = 0$ である。点B(6, 6)から直線OAまでの距離dは、点と直線の距離の公式より

$d = \frac{|2 \times 6 + 1 \times 6|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|12 + 6|}{\sqrt{5}} = \frac{18}{\sqrt{5}}$

線分OAの長さは $\sqrt{(-2 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

三角形OABの面積は

$\frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} \times \frac{18}{\sqrt{5}} = 18$

点Pの座標を(p, 0) (p > 0)とする。三角形OAPの面積は、線分OPを底辺、点Aからx軸までの距離を高さとすると、

$\frac{1}{2} \times p \times 4 = 2p$

三角形OABと三角形OAPの面積が等しいので、

$2p = 18$

$p = 9$

よって、点Pのx座標は9である。

(3)

点Qの座標を(q, 0) (q < 0)とする。三角形OAQの面積は、線分OQを底辺、点Aからx軸までの距離を高さとすると、

$\frac{1}{2} \times |q| \times 4 = 2|q|$

三角形OABと三角形OAQの面積が等しいので、

$2|q| = 18$

$|q| = 9$

$q = \pm 9$

q < 0 より、

$q = -9$

よって、点Qのx座標は-9である。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x$

(2) 9

(3) x = -9