(1) $\int \frac{1}{\sin x} dx$ を求めよ。（不定積分） (2) $\int_{0}^{1} \frac{1}{e^x + 1} dx$ を求めよ。（定積分）

## 問題の解答

1. 問題の内容

(1) $\int \frac{1}{\sin x} dx$ を求めよ。（不定積分）

(2) $\int_{0}^{1} \frac{1}{e^x + 1} dx$ を求めよ。（定積分）

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{\sin x} dx$ の計算

$\sin x$ を半角の公式を用いて書き換えます。

$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

これを用いると、

$\int \frac{1}{\sin x} dx = \int \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} dx$

ここで、$\frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = 1$ を掛けて変形します。

$\int \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} dx = \int \frac{\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}} dx = \int \frac{\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{2 \tan \frac{x}{2}} dx$

ここで、$t = \tan \frac{x}{2}$ と置換すると、$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}$ より、$dx = 2 \cos^2 \frac{x}{2} dt$ となります。

$\int \frac{\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{2 \tan \frac{x}{2}} dx = \int \frac{1}{2t} 2 \cos^2 \frac{x}{2} \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} dt = \int \frac{1}{t} dt = \ln |t| + C = \ln |\tan \frac{x}{2}| + C$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{1}{e^x + 1} dx$ の計算

$\int_{0}^{1} \frac{1}{e^x + 1} dx = \int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^x(e^x + 1)} dx = \int_{0}^{1} \frac{e^x + 1 - e^x}{e^x + 1} dx = \int_{0}^{1} \frac{e^x + 1 - e^x}{e^x + 1} dx$

$= \int_{0}^{1} (1 - \frac{e^x}{e^x + 1}) dx = \int_{0}^{1} 1 dx - \int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^x + 1} dx$

$\int_{0}^{1} 1 dx = [x]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1$

$\int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^x + 1} dx$ は、$u = e^x + 1$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = e^x$ より、$du = e^x dx$ となり、積分範囲は、$x = 0$ のとき $u = e^0 + 1 = 2$、$x = 1$ のとき $u = e^1 + 1 = e + 1$ となります。

$\int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^x + 1} dx = \int_{2}^{e + 1} \frac{1}{u} du = [\ln |u|]_{2}^{e + 1} = \ln(e + 1) - \ln(2) = \ln (\frac{e + 1}{2})$

よって、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{e^x + 1} dx = 1 - \ln (\frac{e + 1}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{1}{\sin x} dx = \ln |\tan \frac{x}{2}| + C$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{1}{e^x + 1} dx = 1 - \ln (\frac{e + 1}{2})$