定積分 $\int_{-2}^{2} (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{2} (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、多項式を項ごとに積分します。

$\int (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx = a_3\frac{x^4}{4} + a_2\frac{x^3}{3} + a_1\frac{x^2}{2} + a_0x + C$

次に、積分範囲 $[-2, 2]$ で定積分を計算します。

定積分の公式は、$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$ です。ここで$F(x)$は$f(x)$の原始関数です。

$\int_{-2}^{2} (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) dx = [a_3\frac{x^4}{4} + a_2\frac{x^3}{3} + a_1\frac{x^2}{2} + a_0x]_{-2}^{2}$

$= (a_3\frac{2^4}{4} + a_2\frac{2^3}{3} + a_1\frac{2^2}{2} + a_0(2)) - (a_3\frac{(-2)^4}{4} + a_2\frac{(-2)^3}{3} + a_1\frac{(-2)^2}{2} + a_0(-2))$

$= (4a_3 + \frac{8}{3}a_2 + 2a_1 + 2a_0) - (4a_3 - \frac{8}{3}a_2 + 2a_1 - 2a_0)$

$= 4a_3 + \frac{8}{3}a_2 + 2a_1 + 2a_0 - 4a_3 + \frac{8}{3}a_2 - 2a_1 + 2a_0$

$= \frac{16}{3}a_2 + 4a_0$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{3}a_2 + 4a_0$