半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $2x + y - 5 = 0$ が接するときの、$r$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $2x + y - 5 = 0$ が接するときの、$r$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線が接するということは、円の中心から直線までの距離が円の半径 $r$ に等しいということです。

円の中心は原点 $(0, 0)$ です。

点 $(x_0, y_0)$ から直線 $ax + by + c = 0$ までの距離 $d$ は、次の公式で与えられます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この問題では、$x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $a = 2$, $b = 1$, $c = -5$ なので、原点から直線 $2x + y - 5 = 0$ までの距離 $d$ は、

$d = \frac{|2(0) + 1(0) - 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

円と直線が接するので、$d = r$ となります。したがって、$r = \sqrt{5}$ となります。

3. 最終的な答え

$r = \sqrt{5}$