座標平面上の原点Oと点P(a, b), Q(x, y)に対して、ベクトルp = ベクトルOP, ベクトルq = ベクトルOQとおく。 (1) |ベクトルp| = 1である1点Pを固定するとき、ベクトルp・ベクトルq <= 1を満たす点Qの範囲を図示せよ。 (2) |ベクトルp| = 1であるすべての点Pに対して、ベクトルp・ベクトルq <= 1を満たす点Qの範囲を図示せよ。

1. 問題の内容

座標平面上の原点Oと点P(a, b), Q(x, y)に対して、ベクトルp = ベクトルOP, ベクトルq = ベクトルOQとおく。

(1) |ベクトルp| = 1である1点Pを固定するとき、ベクトルp・ベクトルq <= 1を満たす点Qの範囲を図示せよ。

(2) |ベクトルp| = 1であるすべての点Pに対して、ベクトルp・ベクトルq <= 1を満たす点Qの範囲を図示せよ。

2. 解き方の手順

(1)

ベクトルp = (a, b), ベクトルq = (x, y)とすると、|ベクトルp| = 1なので、$a^2 + b^2 = 1$を満たします。

ベクトルp・ベクトルq = ax + byであり、これが1以下であるという条件から、ax + by <= 1が成り立ちます。

これは、直線ax + by = 1以下の領域を表します。

直線ax + by = 1は、ベクトルp = (a, b)を法線ベクトルとする直線であり、原点からの距離は$\frac{|a*0 + b*0 - 1|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 1$です。

したがって、直線ax + by = 1は原点から距離1の直線で、ベクトルpの方向と垂直です。

ax + by <= 1を満たす領域は、直線ax + by = 1と原点を含む側の領域です。

(2)

|ベクトルp| = 1を満たす全ての点P(a, b)に対して、ax + by <= 1が成り立つような点Q(x, y)の範囲を求めます。

(1)より、ax + by = 1は、原点からの距離が1の直線です。全ての|ベクトルp| = 1、つまり単位円上のPに対してax + by <= 1を満たすということは、点Q(x, y)が原点Oを中心とする半径1の円の内部または周上にあることを意味します。

なぜなら、もし点Qが半径1の円の外にあると、ある点Pに対してax + by > 1となり、条件を満たさないからです。

実際、x^2 + y^2 = r^2 (r > 1)の場合、a = x/r、b = y/rとすれば、ax + by = (x^2 + y^2)/r = r^2 / r = r > 1となり、条件を満たしません。

一方、x^2 + y^2 <= 1ならば、|ax + by| <= sqrt(a^2 + b^2) * sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(x^2 + y^2) <= 1なので、ax + by <= 1が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) 直線ax + by = 1と原点を含む側の領域。

(2) 原点Oを中心とする半径1の円の内部または周上。つまり、$x^2 + y^2 <= 1$の領域。