方程式 $x^2 + y^2 - 2x + 6y + n - 1 = 0$ が半径 3 の円を表すとき、定数 $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 + y^2 - 2x + 6y + n - 1 = 0$ が半径 3 の円を表すとき、定数 $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

円の方程式を標準形に変形する。

標準形は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ であり、中心 $(a, b)$、半径 $r$ を表す。

与えられた方程式を平方完成する。

$x^2 - 2x + y^2 + 6y + n - 1 = 0$

$(x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) + n - 1 = 0$

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + n - 1 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 1 - 9 + n - 1 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 1 + 9 - n + 1$

$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 11 - n$

この円の半径が3であるから、

$r^2 = 3^2 = 9$

したがって、

$11 - n = 9$

$n$ について解く。

$n = 11 - 9$

$n = 2$

3. 最終的な答え

$n = 2$