二次関数 $y = -x^2 + (4m - 3)x + 8m - 3$ のグラフが、$x$軸の負の部分で異なる2点で交わるための、$m$の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -x^2 + (4m - 3)x + 8m - 3$ のグラフが、$x$軸の負の部分で異なる2点で交わるための、$m$の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

二次関数のグラフが$x$軸の負の部分で異なる2点で交わるための条件は、以下の3つです。

(1) 二次方程式 $-x^2 + (4m - 3)x + 8m - 3 = 0$ が異なる2つの実数解を持つ。

(2) 2つの実数解がともに負である。

(3) グラフの頂点のy座標が正である．これは(1),(2)を満たしていれば必ず満たす

(1) 判別式 $D > 0$

$D = (4m - 3)^2 - 4(-1)(8m - 3) = 16m^2 - 24m + 9 + 32m - 12 = 16m^2 + 8m - 3 > 0$

$(4m + 3)(4m - 1) > 0$

$m < -\frac{3}{4}, \frac{1}{4} < m$

(2) 2つの解を$\alpha, \beta$とすると、$\alpha + \beta < 0$ かつ $\alpha \beta > 0$

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 4m - 3$ なので、$4m - 3 < 0$ より $m < \frac{3}{4}$

$\alpha \beta = -(8m - 3) = -8m + 3$ なので、$-8m + 3 > 0$ より $m < \frac{3}{8}$

(1)と(2)の共通範囲は、$m < -\frac{3}{4}, \frac{1}{4} < m < \frac{3}{8}$ となる。

$\frac{3}{8} = 0.375$

$\frac{1}{4} = 0.25$

$-\frac{3}{4} = -0.75$

したがって、求める$m$の範囲は $m < -\frac{3}{4}$ または $\frac{1}{4} < m < \frac{3}{8}$です。

3. 最終的な答え

$m < -\frac{3}{4}$, $\frac{1}{4} < m < \frac{3}{8}$