与えられた2つの式 $50(x^2+y^2)=(x+7y)^2$ ...(1) $-4\sqrt{3}x+y=1$ ...(2) を同時に満たす実数$x, y$について、空欄を埋める問題。

1. 問題の内容

与えられた2つの式

$50(x^2+y^2)=(x+7y)^2$ ...(1)

$-4\sqrt{3}x+y=1$ ...(2)

を同時に満たす実数$x, y$について、空欄を埋める問題。

2. 解き方の手順

まず、式(1)の左辺から右辺を引く。

$50(x^2+y^2)-(x+7y)^2 = 50x^2+50y^2-(x^2+14xy+49y^2) = 49x^2-14xy+y^2 = (7x-y)^2$

したがって、空欄アには7が入る。

$50(x^2+y^2)-(x+7y)^2 = (7x-y)^2=0$

よって、$7x-y=0$

$y=7x$

式(2)に代入すると、$-4\sqrt{3}x+7x=1$

$x(7-4\sqrt{3})=1$

$x=\frac{1}{7-4\sqrt{3}}$

分母を有理化すると、

$x=\frac{7+4\sqrt{3}}{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})} = \frac{7+4\sqrt{3}}{49-16(3)} = \frac{7+4\sqrt{3}}{49-48} = 7+4\sqrt{3}$

よって、空欄イには7、ウには4が入る。

したがって、$y=7x = 7(7+4\sqrt{3}) = 49+28\sqrt{3}$

次に、式$x^2+y^2-50 = 400(エ + カ\sqrt{3})$を考える。

$x=7+4\sqrt{3}$, $y=49+28\sqrt{3}$であるから、

$x^2 = (7+4\sqrt{3})^2 = 49+56\sqrt{3}+16(3) = 49+56\sqrt{3}+48 = 97+56\sqrt{3}$

$y^2 = (49+28\sqrt{3})^2 = (7(7+4\sqrt{3}))^2 = 49(49+56\sqrt{3}+48) = 49(97+56\sqrt{3}) = 4753+2744\sqrt{3}$

$x^2+y^2 = 97+56\sqrt{3}+4753+2744\sqrt{3} = 4850+2800\sqrt{3}$

$x^2+y^2-50 = 4800+2800\sqrt{3} = 400(12+7\sqrt{3})$

よって、$400(12+7\sqrt{3})=400(エ + カ\sqrt{3})$より、

エには12、カには7が入る。

3. 最終的な答え

ア: 7

イ: 7

ウ: 4

y=7x, $x=7+4\sqrt{3}$, $y=7(7+4\sqrt{3})=49+28\sqrt{3}$

エ: 12

カ: 7