式 $(2a - b)^2 (2a + b)^2$ を展開し、簡略化してください。

1. 問題の内容

式 $(2a - b)^2 (2a + b)^2$ を展開し、簡略化してください。

2. 解き方の手順

まず、$(2a - b)^2$ と $(2a + b)^2$ をそれぞれ展開します。

$(2a - b)^2 = (2a)^2 - 2(2a)(b) + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$

$(2a + b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(b) + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$

次に、展開した2つの式を掛け合わせます。

$(4a^2 - 4ab + b^2)(4a^2 + 4ab + b^2)$

これは、次のように考えることができます。

$((4a^2 + b^2) - 4ab)((4a^2 + b^2) + 4ab)$

これは、$(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ の形をしています。ここで、$A = 4a^2 + b^2$、$B = 4ab$ です。

したがって、

$(4a^2 + b^2)^2 - (4ab)^2$

$(4a^2)^2 + 2(4a^2)(b^2) + (b^2)^2 - 16a^2b^2$

$16a^4 + 8a^2b^2 + b^4 - 16a^2b^2$

$16a^4 - 8a^2b^2 + b^4$

3. 最終的な答え

$16a^4 - 8a^2b^2 + b^4$