$x = \frac{-1 + \sqrt{5}i}{2}$、 $y = \frac{-1 - \sqrt{5}i}{2}$ であるとき、次の式の値を求めます。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$ (4) $x^3+y^3+x^2y+xy^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{-1 + \sqrt{5}i}{2}$、 $y = \frac{-1 - \sqrt{5}i}{2}$ であるとき、次の式の値を求めます。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

(4) $x^3+y^3+x^2y+xy^2$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ の計算：

$x$ と $y$ を足し合わせます。

$x+y = \frac{-1 + \sqrt{5}i}{2} + \frac{-1 - \sqrt{5}i}{2} = \frac{-1 + \sqrt{5}i -1 - \sqrt{5}i}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

(2) $xy$ の計算：

$x$ と $y$ を掛け合わせます。

$xy = \frac{-1 + \sqrt{5}i}{2} \cdot \frac{-1 - \sqrt{5}i}{2} = \frac{(-1)^2 - (\sqrt{5}i)^2}{4} = \frac{1 - (5i^2)}{4} = \frac{1 - (-5)}{4} = \frac{1+5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

(3) $x^2+y^2$ の計算：

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ を利用します。

$x+y=-1$, $xy=\frac{3}{2}$ より、

$x^2+y^2 = (-1)^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 1 - 3 = -2$

(4) $x^3+y^3+x^2y+xy^2$ の計算：

$x^3+y^3+x^2y+xy^2 = (x+y)(x^2-xy+y^2) + xy(x+y) = (x+y)(x^2-xy+y^2+xy) = (x+y)(x^2+y^2)$

$x+y=-1$, $x^2+y^2=-2$ より、

$x^3+y^3+x^2y+xy^2 = (-1)(-2) = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = -1$

(2) $xy = \frac{3}{2}$

(3) $x^2+y^2 = -2$

(4) $x^3+y^3+x^2y+xy^2 = 2$