与えられた複素数の式 $(\frac{7+3i}{2+5i})^{10}$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた複素数の式 $(\frac{7+3i}{2+5i})^{10}$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、分母を実数化するために、分母の共役複素数を分子と分母にかける。

$\frac{7+3i}{2+5i} = \frac{(7+3i)(2-5i)}{(2+5i)(2-5i)}$

分子を計算する:

$(7+3i)(2-5i) = 7(2) + 7(-5i) + 3i(2) + 3i(-5i) = 14 - 35i + 6i - 15i^2 = 14 - 29i + 15 = 29 - 29i$

分母を計算する:

$(2+5i)(2-5i) = 2^2 - (5i)^2 = 4 - 25i^2 = 4 + 25 = 29$

したがって、

$\frac{7+3i}{2+5i} = \frac{29-29i}{29} = 1-i$

次に、複素数 $1-i$ を極形式で表す。

$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$\theta = \arctan(\frac{-1}{1}) = -\frac{\pi}{4}$

したがって、$1-i = \sqrt{2} (\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

ド・モアブルの定理より、

$(1-i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} (\cos(-\frac{10\pi}{4}) + i\sin(-\frac{10\pi}{4})) = 2^5 (\cos(-\frac{5\pi}{2}) + i\sin(-\frac{5\pi}{2}))$

$-\frac{5\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} - 2\pi$ なので、$\cos(-\frac{5\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ および $\sin(-\frac{5\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$

したがって、$(1-i)^{10} = 32(0 - i) = -32i$

3. 最終的な答え

-32i