二次式 $2x^2 + 5x + 3$ を $(x + ア)(イx + ウ)$ の形に因数分解する。

1. 問題の内容

二次式 $2x^2 + 5x + 3$ を $(x + ア)(イx + ウ)$ の形に因数分解する。

2. 解き方の手順

たすき掛けを用いて因数分解を行う。

$2x^2 + 5x + 3 = (ax + b)(cx + d)$ とおく。

$ac = 2$、 $bd = 3$、 $ad + bc = 5$ となる $a, b, c, d$ を探す。

$ac = 2$ より、 $(a, c)$ の候補は $(1, 2)$ または $(2, 1)$。

$bd = 3$ より、 $(b, d)$ の候補は $(1, 3)$ または $(3, 1)$。

(1) $(a, c) = (1, 2)$ の場合

- $(b, d) = (1, 3)$ のとき、$ad + bc = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 = 3 + 2 = 5$。これは条件を満たす。

- $(b, d) = (3, 1)$ のとき、$ad + bc = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 1 + 6 = 7$。これは条件を満たさない。

(2) $(a, c) = (2, 1)$ の場合

- $(b, d) = (1, 3)$ のとき、$ad + bc = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 6 + 1 = 7$。これは条件を満たさない。

- $(b, d) = (3, 1)$ のとき、$ad + bc = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5$。これは条件を満たす。

したがって、

(1) の場合、$2x^2 + 5x + 3 = (x + 1)(2x + 3)$

(2) の場合、$2x^2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)$

どちらも同じ因数分解を表しているので、

$2x^2 + 5x + 3 = (x + 1)(2x + 3)$

よって、$ア = 1$, $イ = 2$, $ウ = 3$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 2

ウ: 3