連続する2つの奇数 $2n+1$ と $2n+3$ の2乗の差が8の倍数であることを証明する問題です。証明の空欄を埋めてください。

1. 問題の内容

連続する2つの奇数 $2n+1$ と $2n+3$ の2乗の差が8の倍数であることを証明する問題です。証明の空欄を埋めてください。

2. 解き方の手順

まず、連続する2つの奇数 $2n+1$ と $2n+3$ の2乗の差を計算します。

$(2n+3)^2 - (2n+1)^2$

次に、それぞれの2乗を展開します。

$= (4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 + 4n + 1)$

展開した式を整理します。

$= 4n^2 + 12n + 9 - 4n^2 - 4n - 1$

$= 8n + 8$

$8$ でくくります。

$= 8(n+1)$

$n+1$は整数なので、$8(n+1)$ は8の倍数です。したがって、連続する2つの奇数の2乗の差は8の倍数である。

空欄を埋めると、以下のようになります。

$(2n+3)^2 - (2n+1)^2$

$= (4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 + 4n + 1)$

$= 8n + 8$

$= 8(n+1)$

3. 最終的な答え

(1): $4n^2 + 12n + 9$

(2): $4n^2 + 4n + 1$

(3): $8n + 8$

(4): $n+1$