$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{2x}}{x^2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{2x}}{x^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、三角関数の恒等式とロピタルの定理を利用することができます。

手順1: 恒等式を使う

$\cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}$ という恒等式を利用して式を書き換えます。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - 2\sin^2{x})}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2{x}}{x^2}$

手順2: 変形

$2\sin^2{x}$ を $2 (\frac{\sin{x}}{x})^2 x^2 / x^2$と書き換えて、さらに以下のように変形します。

$\lim_{x \to 0} 2\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^2$

手順3: 極限を計算

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$ であることを利用します。

$\lim_{x \to 0} 2\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^2 = 2(1)^2 = 2$

または、ロピタルの定理を使うこともできます。

手順1: ロピタルの定理を適用

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{2x}}{x^2}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。分子と分母をそれぞれ微分します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(1 - \cos{2x})}{\frac{d}{dx}(x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin{2x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{2x}}{x}$

手順2: ロピタルの定理を再度適用

再び $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。分子と分母をそれぞれ微分します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sin{2x})}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos{2x}}{1} = 2\cos{0} = 2$

3. 最終的な答え

2