一次関数 $y=f(x)$ と二次関数 $y=g(x)$ のグラフが与えられている。合成関数 $y=(f \circ g)(x)$ のグラフの説明として正しいものを、以下の選択肢からすべて選ぶ。 1. 上に凸の放物線である

1. 問題の内容

一次関数 $y=f(x)$ と二次関数 $y=g(x)$ のグラフが与えられている。合成関数 $y=(f \circ g)(x)$ のグラフの説明として正しいものを、以下の選択肢からすべて選ぶ。

1. 上に凸の放物線である

2. 下に凸の放物線である

3. 放物線の軸は y軸である

4. x軸に接する

5. 点 (a, c) を通る

6. 点 (b, d) を通る

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ と $g(x)$ の具体的な形を考える。グラフから $f(x)$ は一次関数であり、右下がりなので $f(x) = mx + n$ ($m < 0$) の形である。また、$g(x)$ は二次関数であり、グラフの概形は上に開いているので、$g(x) = px^2 + qx + r$ ($p > 0$) の形である。

合成関数 $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ を計算する。

$f(g(x)) = m(px^2 + qx + r) + n = mpx^2 + mqx + mr + n$

ここで、$mp$ の符号について考える。$m < 0$ であり、$p > 0$ なので、$mp < 0$ となる。

したがって、$f(g(x))$ は上に凸の放物線である。

選択肢1: 上に凸の放物線である。これは正しい。

選択肢2: 下に凸の放物線である。これは誤り。

放物線の軸について考える。放物線 $y = ax^2 + bx + c$ の軸は $x = -\frac{b}{2a}$ である。

$f(g(x)) = mpx^2 + mqx + mr + n$ において、$a = mp$、$b = mq$ なので、軸は $x = -\frac{mq}{2mp} = -\frac{q}{2p}$ となる。

もし $q=0$ なら、$x=0$ より軸はy軸になるが、$q$ は 0 とは限らないため、一般にy軸とは限らない。

選択肢3: 放物線の軸は y軸である。これは誤り。

次に、グラフから $f(a) = b$ と $f(c) = d$ が読み取れる。

また、$g(a) = e$ であることも読み取れる。

選択肢5, 6を検討する前に、$(f \circ g)(a) = f(g(a)) = f(e)$ を計算する必要がある。

しかし、$f(e)$ の値は不明なので、点 (a, c) を通るか、点 (b, d) を通るかを直接判断することはできない。

$g(x)$のグラフの具体的な情報がないので、$(f \circ g)(x)$ がx軸に接するかどうかも判断できない。

ここで、$g(x)$のグラフの頂点と$y$切片、$x$切片の値によって、正しい選択肢が変わるので、これ以上は情報がないと判断できない。

13の問題の答えは、選択肢1のみが正しいと判断できる。

3. 最終的な答え

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