与えられた式は、 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$ です。この極限を計算します。

はい、承知いたしました。画像から読み取れる数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式は、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$

です。この極限を計算します。

2. 解き方の手順

この極限は、$e$ の定義に関連しています。$e$ の定義は以下の通りです。

$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$

与えられた式をこの形に変形します。

$y = \frac{x}{2}$ と置くと、$x = 2y$ となります。$x \to \infty$ のとき、$y \to \infty$ です。したがって、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x = \lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^{2y}$

指数法則を使うと、

$\lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^{2y} = \lim_{y \to \infty} [(1 + \frac{1}{y})^{y}]^2$

ここで、$e$ の定義を用いると、

$\lim_{y \to \infty} [(1 + \frac{1}{y})^{y}]^2 = [\lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^{y}]^2 = e^2$

3. 最終的な答え

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x = e^2$