次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{2x \arctan(x)}{1 - \cos(4x)}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{2x \arctan(x)}{1 - \cos(4x)}$

2. 解き方の手順

まず、$\arctan(x)$、$1-\cos(4x)$のマクローリン展開を考えます。

$x \to 0$のとき、

$\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots$

$1 - \cos(4x) = \frac{(4x)^2}{2!} - \frac{(4x)^4}{4!} + \dots = 8x^2 - \frac{32}{3}x^4 + \dots$

よって、

$2x \arctan(x) = 2x(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots) = 2x^2 - \frac{2x^4}{3} + \dots$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{2x \arctan(x)}{1 - \cos(4x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 - \frac{2x^4}{3} + \dots}{8x^2 - \frac{32}{3}x^4 + \dots}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{2 - \frac{2x^2}{3} + \dots}{8 - \frac{32}{3}x^2 + \dots}$

$= \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

または、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{2x \arctan(x)}{1 - \cos(4x)}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を使うことができます。

$\frac{d}{dx} (2x \arctan(x)) = 2\arctan(x) + \frac{2x}{1+x^2}$

$\frac{d}{dx} (1 - \cos(4x)) = 4\sin(4x)$

$\lim_{x \to 0} \frac{2\arctan(x) + \frac{2x}{1+x^2}}{4\sin(4x)}$ も $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、再びロピタルの定理を使います。

$\frac{d}{dx} (2\arctan(x) + \frac{2x}{1+x^2}) = \frac{2}{1+x^2} + \frac{2(1+x^2) - 2x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2}{1+x^2} + \frac{2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1+x^2) + 2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{4}{(1+x^2)^2}$

$\frac{d}{dx} (4\sin(4x)) = 16\cos(4x)$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{(1+x^2)^2}}{16\cos(4x)} = \frac{\frac{4}{(1+0)^2}}{16\cos(0)} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

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