曲線 $C: y = x^2 + x - 2$ が与えられています。 (1) 曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めます。 (2) 点$(1, -9)$から曲線$C$に引いた2つの接線の接点の$x$座標を求めます。 また、曲線$C$と2つの接線によって囲まれた図形の面積$T$を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^2 + x - 2$ が与えられています。

(1) 曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めます。

(2) 点$(1, -9)$から曲線$C$に引いた2つの接線の接点の$x$座標を求めます。

また、曲線$C$と2つの接線によって囲まれた図形の面積$T$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 曲線$C$と$x$軸との交点を求めます。

$y = x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$ より、$x = -2, 1$ です。

したがって、面積$S$は、

$S = - \int_{-2}^{1} (x^2 + x - 2) dx = - [\frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 2x]_{-2}^{1}$

$= - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) + (\frac{-8}{3} + 2 + 4) = - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{8}{3} + 6 = -3 - \frac{1}{2} + 8 = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

(2) 接点の$x$座標を$t$とします。

$y' = 2x + 1$ より、接線の傾きは$2t + 1$です。

接線の方程式は、$y - (t^2 + t - 2) = (2t + 1)(x - t)$です。

この接線が点$(1, -9)$を通るので、

$-9 - (t^2 + t - 2) = (2t + 1)(1 - t)$

$-9 - t^2 - t + 2 = 2t + 1 - 2t^2 - t$

$-t^2 - t - 7 = -2t^2 + t + 1$

$t^2 - 2t - 8 = 0$

$(t - 4)(t + 2) = 0$

$t = 4, -2$

$t = -2$のとき、接線は$y - (4 - 2 - 2) = (-4 + 1)(x + 2)$より、$y = -3x - 6$

$t = 4$のとき、接線は$y - (16 + 4 - 2) = (8 + 1)(x - 4)$より、$y = 9x - 18 - 18 = 9x - 36$

面積$T$は、$\int_{-2}^{1} (-3x - 6 - (x^2 + x - 2)) dx + \int_{1}^{4} (9x - 36 - (x^2 + x - 2)) dx$

$=\int_{-2}^{1} (-x^2 - 4x - 4) dx + \int_{1}^{4} (-x^2 + 8x - 34) dx$

$=\int_{-2}^{1} -(x + 2)^2 dx + \int_{1}^{4} -(x^2 - 8x + 34) dx$

これは問題文の形と異なります。接点のx座標は-2と4なので積分区間とあっていません。

問題文の面積$T$の式から、

$T = \int_{-2}^{1} (x+2)^2 dx + \int_{1}^{4} (x-4)^2 dx$

$= [\frac{1}{3} (x+2)^3]_{-2}^{1} + [\frac{1}{3} (x-4)^3]_{1}^{4}$

$= \frac{1}{3} (27 - 0) + \frac{1}{3} (0 - (-27)) = 9 + 9 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{9}{2}$

(2) $x = -2, 4$

$T = 18$

問題文より

$S = \frac{9}{2}$

$x = -2, 4$

$T = \int_{-2}^{1} (x+2)^2 dx + \int_{1}^{4} (x-4)^2 dx = 18$

したがって、解答は以下のようになります。

1. 9

2. 2

3. 2

4. 4

5. 2

6. 4

7. 1

8. 8