一次関数 $y=f(x)$ と二次関数 $y=g(x)$ のグラフが与えられている。合成関数 $y=(f \circ g)(x) = f(g(x))$ のグラフの説明として正しいものを、以下の選択肢からすべて選ぶ。 選択肢： 1. 上に凸の放物線である

1. 問題の内容

一次関数 $y=f(x)$ と二次関数 $y=g(x)$ のグラフが与えられている。合成関数 $y=(f \circ g)(x) = f(g(x))$ のグラフの説明として正しいものを、以下の選択肢からすべて選ぶ。

選択肢：

1. 上に凸の放物線である

2. 下に凸の放物線である

3. 放物線の軸は $y$ 軸である

4. $x$ 軸に接する

5. 点 $(a, c)$ を通る

6. 点 $(b, d)$ を通る

2. 解き方の手順

まず、与えられたグラフから $f(x)$ と $g(x)$ の特徴を把握する。

* $f(x)$ は一次関数であり、傾きは負である。

* $g(x)$ は二次関数であり、下に凸で、頂点の座標は $(b, e)$ であり、$x$ 軸との交点は $(0, 0)$ である。

次に、$f(g(x))$ を考える。

$g(x)$ は常に $0$ 以上の値を取るため、$f(g(x))$ は $g(x)$ の値域に制限された範囲で $f$ を評価する。

1. $g(x)$ は下に凸の二次関数なので、$f(g(x))$ のグラフは放物線ではない。

2. $f(x)$ は傾きが負の一次関数なので、$g(x)$ が増加すると $f(g(x))$ は減少する。$g(x)$ は下に凸であるから、$f(g(x))$ は $x = b$ に対して左右対称となることはない。

$x = 0$ のとき $g(0) = 0$ であり、$y=f(0) = d$ であるため、$f(g(0)) = f(0) = d$。

$x = a$ のとき、$g(a) = c$ であり、$y=f(c)$ であるため、$f(g(a)) = f(c)$。

$x = b$ のとき、$g(b) = e$ であり、$f(g(b)) = f(e)$ である。$e$ は $f(x)$ の $x$ 切片なので $f(e) = 0$ である。

$g(x)$ は $x=0$ で $x$ 軸に接するので、$g(0)=0$ より、$f(g(0)) = f(0) = d$ となる。

* 選択肢1: 上に凸の放物線ではない。

* 選択肢2: 放物線ではない。

* 選択肢3: $g(x)$ は $x=b$ で軸を持つので、$f(g(x))$ は y軸に関して対称ではない。軸は $x=b$ を中心に存在する。

* 選択肢4: $f(g(b)) = f(e) = 0$ なので、$x=b$ の近傍で $g(x)$ の値は小さい。関数 $f(x)$ は減少関数なので、 $f(g(x))$ は増えていく。ゆえに、$x$ 軸に接することはない。

* 選択肢5: 点 $(a, c)$ は $y=g(x)$ 上の点。$f(g(a)) = f(c)$ なので、$(a, f(c))$ を通る。しかし、この選択肢は $(a, c)$ を通ると言っているので誤り。

* 選択肢6: $g(b) = e$ であり、$f(g(b)) = f(e) = 0$ なので、$y=f(g(x))$ は $(b, 0)$ を通る。選択肢は $(b, d)$ を通ると言っているので誤り。$f(g(x))$ は、$x=b$ のとき最小値 $0$ をとり、$y$ 軸には接しない。

では具体的に $f(x) = -2x + d$, $g(x) = kx^2$ ($k$ は正の定数) とすると、 $f(g(x)) = -2kx^2 + d$。この放物線は上に凸で、軸は $y$ 軸。

ただし、$g(x)$ は必ずしも原点を通る放物線とは限らない。一般に $g(x) = k(x-b)^2 + e$ とおくことができ、$f(g(x)) = -2(k(x-b)^2 + e) + d = -2k(x-b)^2 - 2e + d$。これは頂点が $(b, -2e + d)$ の上に凸な放物線。軸は $x=b$。

$y = f(g(x))$ が $x$ 軸に接するとき、$-2e + d = 0$、つまり $d = 2e$。このとき、$y = f(g(x)) = -2k(x-b)^2$。

$g(0) = k(-b)^2 + e = d$。$a$ と $c$ の位置関係は、 $g(a) = k(a-b)^2 + e = c$。

$f(g(x))$ は上に凸の放物線となる可能性があり、放物線の軸が $y$ 軸になる可能性もある ($b=0$ の場合)。

3. 最終的な答え

3, 4