## 問題の概要

## 問題の概要

質量 $m$ の質点を、初期速度 $v_0$ で水平方向に投射した。投射点を原点とし、水平右向きを $x$ 軸、鉛直下向きを $y$ 軸とする。重力加速度は $g$ である。

(1) 質点に働く力を図示する。

(2) $x$ 方向の速度を $v_x$ 、 $y$ 方向の速度を $v_y$ として運動方程式を立てる。

(3) 運動方程式を解き、投射後 $t$ 秒後の質点の $x$ 方向と $y$ 方向の速度を求める。

(4) 投射後 $t$ 秒後の質点の位置 $x$, $y$ を求める。

(5) (4) の結果から時間を消去し、質点の軌跡を求める。

## 解き方の手順

**(1) 質点に働く力の図示**

質点に働く力は重力のみであり、鉛直下向きに $mg$ である。図に、下向きの矢印で $mg$ を書き込む。

**(2) 運動方程式**

$x$ 軸方向には力が働かないので、

$m \frac{dv_x}{dt} = 0$

$y$ 軸方向には重力が働くので、

$m \frac{dv_y}{dt} = mg$

**(3) 速度の導出**

$x$ 方向の運動方程式を解く。

$\frac{dv_x}{dt} = 0$

積分して、

$v_x = C_1$

初期条件 $v_x(0) = v_0$ より、$C_1 = v_0$

$v_x(t) = v_0$

$y$ 方向の運動方程式を解く。

$\frac{dv_y}{dt} = g$

積分して、

$v_y = gt + C_2$

初期条件 $v_y(0) = 0$ より、$C_2 = 0$

$v_y(t) = gt$

**(4) 位置の導出**

$x$ 方向の速度を積分する。

$v_x = \frac{dx}{dt} = v_0$

積分して、

$x = v_0 t + C_3$

初期条件 $x(0) = 0$ より、$C_3 = 0$

$x = v_0 t$

$y$ 方向の速度を積分する。

$v_y = \frac{dy}{dt} = gt$

積分して、

$y = \frac{1}{2} g t^2 + C_4$

初期条件 $y(0) = 0$ より、$C_4 = 0$

$y = \frac{1}{2} g t^2$

**(5) 軌跡の導出**

$x = v_0 t$ より、$t = \frac{x}{v_0}$

これを $y = \frac{1}{2} g t^2$ に代入する。

$y = \frac{1}{2} g \left( \frac{x}{v_0} \right)^2 = \frac{g}{2 v_0^2} x^2$

## 最終的な答え

(1) 質点に働く力：鉛直下向きに $mg$

(2) 運動方程式：

$m \frac{dv_x}{dt} = 0$

$m \frac{dv_y}{dt} = mg$

(3) 速度：

$v_x(t) = v_0$

$v_y(t) = gt$

(4) 位置：

$x(t) = v_0 t$

$y(t) = \frac{1}{2} g t^2$

(5) 軌跡：

$y = \frac{g}{2 v_0^2} x^2$