長さ180m、時速96kmで走る急行列車が、長さ220mのトンネルの入り口で長さ350mの貨物列車と出会いました。急行列車の最後尾がトンネルを出た時に、貨物列車の最後尾がトンネルに入りました。この時、貨物列車の速度を時速何kmで求めます。

1. 問題の内容

長さ180m、時速96kmで走る急行列車が、長さ220mのトンネルの入り口で長さ350mの貨物列車と出会いました。急行列車の最後尾がトンネルを出た時に、貨物列車の最後尾がトンネルに入りました。この時、貨物列車の速度を時速何kmで求めます。

2. 解き方の手順

まず、急行列車と貨物列車が出会ってから、急行列車の最後尾がトンネルを出るまでの時間を求めます。急行列車の最後尾がトンネルを通過する距離は、トンネルの長さと急行列車の長さを足したものです。

$220 + 180 = 400$m

次に、急行列車の速さをm/sに変換します。

$96 \text{km/h} = 96 \times \frac{1000}{3600} \text{m/s} = \frac{960}{36} \text{m/s} = \frac{80}{3} \text{m/s}$

急行列車の最後尾がトンネルを通過するのにかかる時間は、距離を速さで割ることで求められます。

$\text{時間} = \frac{\text{距離}}{\text{速さ}} = \frac{400}{\frac{80}{3}} = \frac{400 \times 3}{80} = \frac{1200}{80} = 15 \text{秒}$

同じ時間で、貨物列車の最後尾がトンネルに入ったので、貨物列車は15秒で350m進んだことになります。

貨物列車の速さをm/sで求めます。

$\text{速さ} = \frac{\text{距離}}{\text{時間}} = \frac{350}{15} = \frac{70}{3} \text{m/s}$

最後に、貨物列車の速さをkm/hに変換します。

$\frac{70}{3} \text{m/s} = \frac{70}{3} \times \frac{3600}{1000} \text{km/h} = \frac{70 \times 36}{3 \times 10} = \frac{70 \times 12}{10} = 7 \times 12 = 84 \text{km/h}$

問題文をよく読むと、急行列車はトンネルに入りながら貨物列車と出会い、急行列車の最後尾がトンネルを出る時に貨物列車の最後尾がトンネルに入ったとあります。つまり、この時間内における急行列車と貨物列車の相対距離は、急行列車の長さ＋貨物列車の長さだと考えられます。

急行列車の速さは $\frac{80}{3}$ m/s、貨物列車の速さは $v$ m/sとします。すると、相対速度は $\frac{80}{3} + v$ m/sとなります。

出会ってから急行列車の最後尾がトンネルを出るまでの時間は15秒なので、以下の式が成り立ちます。

$(\frac{80}{3} + v) \times 15 = 180+350 = 530$

$\frac{80}{3} + v = \frac{530}{15} = \frac{106}{3}$

$v = \frac{106}{3} - \frac{80}{3} = \frac{26}{3}$ m/s

時速に直すと、$v = \frac{26}{3} \times \frac{3600}{1000} = \frac{26}{3} \times \frac{18}{5} = \frac{26 \times 6}{5} = \frac{156}{5} = 31.2$ km/h

3. 最終的な答え

31.2 km/時