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1. 問題の内容
(1) 定数 に対して、極限 が有限の値となるとき、 の値とその極限値を求めよ。
(2) となるように、定数 の値を定めよ。
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2. 解き方の手順
### (1)
1. $x \to 1$ のとき、分母 $x^2 + x - 2$ は $(x-1)(x+2)$ と因数分解できるため、$0$ に近づく。
2. 極限が有限の値を持つためには、分子 $x^2+ax-2a+1$ も $x \to 1$ のとき、$0$ に近づく必要がある。つまり、$x=1$ を代入したときに $0$ になる必要がある。
3. $1^2 + a(1) - 2a + 1 = 0$ より、$1 + a - 2a + 1 = 0$ となる。これを解くと $a = 2$ が得られる。
4. $a = 2$ を代入すると、分子は $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$ となる。
5. 与えられた極限は
となる。
6. $x \to 1$ のとき、$\frac{x+3}{x+2} \to \frac{1+3}{1+2} = \frac{4}{3}$ となる。
### (2)
1. $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x^2 - 3x + 4} - (ax + b)) = 0$ が成立するためには、$\sqrt{2x^2 - 3x + 4}$ の $x \to \infty$ における振る舞いと $ax+b$ の振る舞いが同程度である必要がある。
2. $x$ が非常に大きいとき、$\sqrt{2x^2 - 3x + 4} \approx \sqrt{2x^2} = \sqrt{2} x$ と近似できる。
3. したがって、$a = \sqrt{2}$ となる。
4. $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x^2 - 3x + 4} - (\sqrt{2}x + b)) = 0$ を変形する。
5. $\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{2x^2 - 3x + 4} - (\sqrt{2}x + b)) (\sqrt{2x^2 - 3x + 4} + (\sqrt{2}x + b))}{\sqrt{2x^2 - 3x + 4} + (\sqrt{2}x + b)} = 0$
6. $\lim_{x \to \infty} \frac{(2x^2 - 3x + 4) - (2x^2 + 2\sqrt{2}bx + b^2)}{\sqrt{2x^2 - 3x + 4} + (\sqrt{2}x + b)} = 0$
7. $\lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 4 - 2\sqrt{2}bx - b^2}{\sqrt{2x^2 - 3x + 4} + (\sqrt{2}x + b)} = 0$
8. $\lim_{x \to \infty} \frac{(-3 - 2\sqrt{2}b)x + (4 - b^2)}{\sqrt{2x^2 - 3x + 4} + (\sqrt{2}x + b)} = 0$
9. $\lim_{x \to \infty} \frac{(-3 - 2\sqrt{2}b)x + (4 - b^2)}{\sqrt{x^2(2 - \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2})} + (\sqrt{2}x + b)} = 0$
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0. $\lim_{x \to \infty} \frac{(-3 - 2\sqrt{2}b)x + (4 - b^2)}{x(\sqrt{2 - \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2}} + \sqrt{2}) + b} = 0$
1
1. 極限が存在し、かつ $0$ に収束するためには、$x$ の係数が $0$ である必要がある。
1
2. $-3 - 2\sqrt{2}b = 0$ より、$b = -\frac{3}{2\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{4}$ となる。
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3. 最終的な答え
(1) , 極限値
(2) ,