与えられた関数の、指定された $x$ の値における微分係数を、定義に従って求めます。問題は2つあります。 (1) $f(x) = -\sqrt{x}$ ($x=2$) (2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ ($x=3$)

1. 問題の内容

与えられた関数の、指定された $x$ の値における微分係数を、定義に従って求めます。問題は2つあります。

(1) $f(x) = -\sqrt{x}$ ($x=2$)

(2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ ($x=3$)

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -\sqrt{x}$ の $x=2$ における微分係数を求める。

微分係数の定義は $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ です。

$x=2$ なので、

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-\sqrt{2+h} - (-\sqrt{2})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-\sqrt{2+h} + \sqrt{2}}{h}$

この式を有理化するために、分子と分母に $-\sqrt{2+h} - \sqrt{2}$ をかけます。

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(-\sqrt{2+h} + \sqrt{2})(-\sqrt{2+h} - \sqrt{2})}{h(-\sqrt{2+h} - \sqrt{2})} = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h) - 2}{h(-\sqrt{2+h} - \sqrt{2})} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(-\sqrt{2+h} - \sqrt{2})} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{-\sqrt{2+h} - \sqrt{2}}$

$h \to 0$ の極限を取ると、

$f'(2) = \frac{1}{-\sqrt{2+0} - \sqrt{2}} = \frac{1}{-\sqrt{2} - \sqrt{2}} = \frac{1}{-2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ の $x=3$ における微分係数を求める。

$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{3+h}} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{3} - \sqrt{3+h}}{h\sqrt{3}\sqrt{3+h}}$

この式を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{3} + \sqrt{3+h}$ をかけます。

$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{3+h})(\sqrt{3} + \sqrt{3+h})}{h\sqrt{3}\sqrt{3+h}(\sqrt{3} + \sqrt{3+h})} = \lim_{h \to 0} \frac{3 - (3+h)}{h\sqrt{3}\sqrt{3+h}(\sqrt{3} + \sqrt{3+h})} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h\sqrt{3}\sqrt{3+h}(\sqrt{3} + \sqrt{3+h})} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{\sqrt{3}\sqrt{3+h}(\sqrt{3} + \sqrt{3+h})}$

$h \to 0$ の極限を取ると、

$f'(3) = \frac{-1}{\sqrt{3}\sqrt{3+0}(\sqrt{3} + \sqrt{3+0})} = \frac{-1}{\sqrt{3}\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{3})} = \frac{-1}{3(2\sqrt{3})} = \frac{-1}{6\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{18}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(2) = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) $f'(3) = -\frac{\sqrt{3}}{18}$