与えられた関数 $y = x^3 + 2x^2 + 5x$ の第2次導関数 $y''$ を求め、$y'' = Ax + B$ の形で表したときの $A$ と $B$ の値を答える。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^3 + 2x^2 + 5x$ の第2次導関数 $y''$ を求め、$y'' = Ax + B$ の形で表したときの $A$ と $B$ の値を答える。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y$ を $x$ で1回微分して、第1次導関数 $y'$ を求める。次に、得られた $y'$ をさらに $x$ で微分して、第2次導関数 $y''$ を求める。

第1次導関数 $y'$ は、

$y' = \frac{d}{dx} (x^3 + 2x^2 + 5x) = 3x^2 + 4x + 5$

第2次導関数 $y''$ は、

$y'' = \frac{d}{dx} (3x^2 + 4x + 5) = 6x + 4$

したがって、$y'' = 6x + 4$ であり、$y'' = Ax + B$ の形と比較すると、$A = 6$、$B = 4$ となる。

3. 最終的な答え

A = 6

B = 4