関数 $f(x) = x^2 - 1$ について、$x = -1$ における微分係数 $f'(-1)$ を、微分係数の定義に基づいて求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 1$ について、$x = -1$ における微分係数 $f'(-1)$ を、微分係数の定義に基づいて求める問題です。

2. 解き方の手順

微分係数の定義式は以下の通りです。

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$

まず、$f(-1+h)$ を計算します。

$f(-1+h) = (-1+h)^2 - 1 = 1 - 2h + h^2 - 1 = h^2 - 2h$

次に、$f(-1)$ を計算します。

$f(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

これらを定義式に代入します。

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 2h - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(h - 2)}{h}$

$h \to 0$ であり、$h \neq 0$ なので、$h$ で約分できます。

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} (h - 2)$

$h$ を $0$ に近づけると、

$f'(-1) = 0 - 2 = -2$

したがって、$f'(-1) = -2$となります。

問題文の空欄を埋めると次のようになります。

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{(-1+h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 2h}{h} = \lim_{h \to 0} (h - 2) = -2$

よって、A=-1, B=1, C=-1, D=-2, E=0

3. 最終的な答え

$f'(-1) = -2$

A = -1, B = 1, C = -1, D = -2, E = 0