問題は以下の2つに分かれています。 (1) 対数に関する等式の変形過程を示す問題です。 与えられた式は $\log|y-1| - \log|y| = x + C$ で、これから $\frac{y-1}{y} = C'e^x$ を導出する必要があります。 (2) いくつかの微分方程式の一般解を求める問題です。 具体的には以下の3つの微分方程式を解きます。 (a) $\frac{dy}{dx} = xy$ (b) $\frac{dy}{dx} = 2(x-1)(y+2)$ (c) $y(1+x^2)\frac{dy}{dx} = x$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は以下の2つに分かれています。

(1) 対数に関する等式の変形過程を示す問題です。

与えられた式は $\log|y-1| - \log|y| = x + C$ で、これから $\frac{y-1}{y} = C'e^x$ を導出する必要があります。

(2) いくつかの微分方程式の一般解を求める問題です。

具体的には以下の3つの微分方程式を解きます。

(a) $\frac{dy}{dx} = xy$

(b) $\frac{dy}{dx} = 2(x-1)(y+2)$

(c) $y(1+x^2)\frac{dy}{dx} = x$

2. 解き方の手順

(1) 対数に関する等式の変形

$\log|y-1| - \log|y| = x + C$

$\log\left|\frac{y-1}{y}\right| = x + C$

$\left|\frac{y-1}{y}\right| = e^{x+C} = e^x e^C$

ここで、$e^C$ を $C'$ と置き、$C'$ は正の定数とします。

$\left|\frac{y-1}{y}\right| = C' e^x$

$\frac{y-1}{y}$ の絶対値を外すとき、$\frac{y-1}{y} = \pm C' e^x$ となりますが、$\pm C'$ もまた任意定数であるため、これを改めて $C'$ と置き換えます。（$C'$ は正負の値を取りうる定数。）

したがって、

$\frac{y-1}{y} = C' e^x$

(2) 微分方程式の解法

(a) $\frac{dy}{dx} = xy$

これは変数分離形の微分方程式なので、

$\frac{dy}{y} = x dx$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dy}{y} = \int x dx$

$\log|y| = \frac{1}{2}x^2 + C$

$|y| = e^{\frac{1}{2}x^2 + C} = e^{\frac{1}{2}x^2} e^C$

$y = \pm e^C e^{\frac{1}{2}x^2}$

$y = A e^{\frac{1}{2}x^2}$　($A$ は任意定数)

(b) $\frac{dy}{dx} = 2(x-1)(y+2)$

これも変数分離形なので、

$\frac{dy}{y+2} = 2(x-1)dx$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dy}{y+2} = \int 2(x-1) dx$

$\log|y+2| = x^2 - 2x + C$

$|y+2| = e^{x^2 - 2x + C} = e^{x^2 - 2x} e^C$

$y+2 = \pm e^C e^{x^2 - 2x}$

$y = A e^{x^2 - 2x} - 2$ ($A$ は任意定数)

(c) $y(1+x^2)\frac{dy}{dx} = x$

これも変数分離形なので、

$y dy = \frac{x}{1+x^2} dx$

両辺を積分すると、

$\int y dy = \int \frac{x}{1+x^2} dx$

$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$

$y^2 = \log(1+x^2) + 2C$

$y^2 = \log(1+x^2) + A$ ($A$ は任意定数)

$y = \pm \sqrt{\log(1+x^2) + A}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{y-1}{y} = C' e^x$

(2)

(a) $y = A e^{\frac{1}{2}x^2}$　($A$ は任意定数)

(b) $y = A e^{x^2 - 2x} - 2$ ($A$ は任意定数)

(c) $y = \pm \sqrt{\log(1+x^2) + A}$ ($A$ は任意定数)