$2 \log x$ の不定積分を求めます。これは部分積分を用いて解く問題です。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

**問題1 (1) $\int 2 \log x \, dx$**

1. 問題の内容

$2 \log x$ の不定積分を求めます。これは部分積分を用いて解く問題です。

2. 解き方の手順

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用います。

$u = \log x$、$dv = 2 \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$、$v = 2x$ となります。

$\int 2 \log x \, dx = 2x \log x - \int 2x \cdot \frac{1}{x} \, dx = 2x \log x - \int 2 \, dx = 2x \log x - 2x + C$

3. 最終的な答え

$2x \log x - 2x + C$

**問題1 (2) $\int x \sqrt{1+x} \, dx$**

1. 問題の内容

$x \sqrt{1+x}$ の不定積分を求めます。これは部分積分または置換積分を用いて解く問題です。

2. 解き方の手順

置換積分で解きます。$t = \sqrt{1+x}$ とすると、$t^2 = 1+x$ より $x = t^2 - 1$ 、そして $dx = 2t \, dt$ となります。

$\int x \sqrt{1+x} \, dx = \int (t^2-1) t (2t \, dt) = 2 \int (t^4 - t^2) \, dt = 2 \left( \frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3} \right) + C = \frac{2}{5} t^5 - \frac{2}{3} t^3 + C$

ここで、$t = \sqrt{1+x}$ を代入すると、

$\frac{2}{5} (1+x)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} (1+x)^{\frac{3}{2}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5} (1+x)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} (1+x)^{\frac{3}{2}} + C$

**問題1 (3) $\int \frac{1}{(x^2+1)^2} \, dx$**

1. 問題の内容

$\frac{1}{(x^2+1)^2}$ の不定積分を求めます。これは三角関数を使った置換積分を用いて解く問題です。

2. 解き方の手順

$x = \tan \theta$ と置換すると、$dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} \, d\theta$ 、$x^2 + 1 = \tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ となります。

$\int \frac{1}{(x^2+1)^2} \, dx = \int \frac{1}{(\frac{1}{\cos^2 \theta})^2} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} \, d\theta = \int \cos^4 \theta \cdot \cos^2 \theta \, d\theta = \int \cos^2 \theta \, d\theta = \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta + C$

ここで、$x = \tan \theta$ より、$\theta = \arctan x$ です。また、$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2\tan \theta}{\tan^2 \theta + 1} = \frac{2x}{x^2+1}$

したがって、$\int \frac{1}{(x^2+1)^2} \, dx = \frac{1}{2} \arctan x + \frac{1}{4} \cdot \frac{2x}{x^2+1} + C = \frac{1}{2} \arctan x + \frac{x}{2(x^2+1)} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \arctan x + \frac{x}{2(x^2+1)} + C$

**問題1 (4) $\int x^2 e^x \, dx$**

1. 問題の内容

$x^2 e^x$ の不定積分を求めます。これは部分積分を用いて解く問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を2回行います。

まず、$u = x^2$、$dv = e^x \, dx$ とすると、$du = 2x \, dx$、$v = e^x$

$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx$

次に、$\int 2x e^x \, dx$ を計算します。$u = 2x$、$dv = e^x \, dx$ とすると、$du = 2 \, dx$、$v = e^x$

$\int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x e^x - 2e^x + C_1$

したがって、$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C$

3. 最終的な答え

$x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C$

**問題2 (1) $y' = 4x^6 - 3x^4 + 4$**

1. 問題の内容

微分方程式 $y' = 4x^6 - 3x^4 + 4$ の一般解 $y$ を求めます。

2. 解き方の手順

両辺を積分します。

$y = \int (4x^6 - 3x^4 + 4) \, dx = 4 \int x^6 \, dx - 3 \int x^4 \, dx + 4 \int 1 \, dx = 4 \cdot \frac{x^7}{7} - 3 \cdot \frac{x^5}{5} + 4x + C$

3. 最終的な答え

$y = \frac{4}{7} x^7 - \frac{3}{5} x^5 + 4x + C$

**問題2 (2) $y' = e^{3x} + x$**

1. 問題の内容

微分方程式 $y' = e^{3x} + x$ の一般解 $y$ を求めます。

2. 解き方の手順

両辺を積分します。

$y = \int (e^{3x} + x) \, dx = \int e^{3x} \, dx + \int x \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} + \frac{1}{2} x^2 + C$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{3} e^{3x} + \frac{1}{2} x^2 + C$

**問題2 (3) $y' = \log x + \sin x$**

1. 問題の内容

微分方程式 $y' = \log x + \sin x$ の一般解 $y$ を求めます。

2. 解き方の手順

両辺を積分します。まず $\int \log x \, dx$ を部分積分で求めます。

$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ です。

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C_1$

次に $\int \sin x \, dx = -\cos x + C_2$

よって、$y = \int (\log x + \sin x) \, dx = (x \log x - x) - \cos x + C$

3. 最終的な答え

$y = x \log x - x - \cos x + C$

**問題2 (4) $y' = \frac{1}{x} + \cos x$**

1. 問題の内容

微分方程式 $y' = \frac{1}{x} + \cos x$ の一般解 $y$ を求めます。

2. 解き方の手順

両辺を積分します。

$y = \int (\frac{1}{x} + \cos x) \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx + \int \cos x \, dx = \log |x| + \sin x + C$

3. 最終的な答え

$y = \log |x| + \sin x + C$

**問題3 (1) $\int \sin 3x \, dx$**

1. 問題の内容

$\sin 3x$ の不定積分を求めます。これは置換積分を用いて解く問題です。

2. 解き方の手順

$u = 3x$ と置換すると、$du = 3 \, dx$ より $dx = \frac{1}{3} \, du$ となります。

$\int \sin 3x \, dx = \int \sin u \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int \sin u \, du = \frac{1}{3} (-\cos u) + C = -\frac{1}{3} \cos 3x + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3} \cos 3x + C$

**問題3 (2) $\int \cos (ax+b) \, dx$**

1. 問題の内容

$\cos (ax+b)$ の不定積分を求めます。これは置換積分を用いて解く問題です。

2. 解き方の手順

$u = ax+b$ と置換すると、$du = a \, dx$ より $dx = \frac{1}{a} \, du$ となります。

$\int \cos (ax+b) \, dx = \int \cos u \cdot \frac{1}{a} \, du = \frac{1}{a} \int \cos u \, du = \frac{1}{a} \sin u + C = \frac{1}{a} \sin (ax+b) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{a} \sin (ax+b) + C$