与えられた関数を微分する問題です。具体的には、べき関数、ルート関数、逆数関数、三角関数、指数関数、対数関数など、様々な種類の関数を微分する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、べき関数、ルート関数、逆数関数、三角関数、指数関数、対数関数など、様々な種類の関数を微分する必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^4$

べき関数の微分公式 $d/dx(x^n) = nx^{n-1}$ を用いると、

$dy/dx = 4x^{4-1} = 4x^3$

(2) $y = x^6$

同様に、

$dy/dx = 6x^{6-1} = 6x^5$

(3) $y = x^{100}$

同様に、

$dy/dx = 100x^{100-1} = 100x^{99}$

(4) $y = \sqrt{x} = x^{1/2}$

$dy/dx = (1/2)x^{(1/2)-1} = (1/2)x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

(5) $y = \sqrt[4]{x^3} = x^{3/4}$

$dy/dx = (3/4)x^{(3/4)-1} = (3/4)x^{-1/4} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$

(6) $y = \frac{1}{x} = x^{-1}$

$dy/dx = (-1)x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

(7) $y = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$

$dy/dx = (-2)x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$

(8) $y = \frac{1}{x^4} = x^{-4}$

$dy/dx = (-4)x^{-4-1} = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$

(9) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{1}{x^{1/3}} = x^{-1/3}$

$dy/dx = (-1/3)x^{(-1/3)-1} = (-1/3)x^{-4/3} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$

(10) $y = \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{3/2}} = x^{-3/2}$

$dy/dx = (-3/2)x^{(-3/2)-1} = (-3/2)x^{-5/2} = -\frac{3}{2x^{5/2}} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$

(11) $y = \sin x$

$dy/dx = \cos x$

(12) $y = \cos x$

$dy/dx = -\sin x$

(13) $y = 2^x$

$dy/dx = 2^x \ln 2$

(14) $y = e^x$

$dy/dx = e^x$

(15) $y = \log x$ （自然対数、つまり $\log_e x$）

$dy/dx = \frac{1}{x}$

3. 最終的な答え

(1) $4x^3$

(2) $6x^5$

(3) $100x^{99}$

(4) $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

(5) $\frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$

(6) $-\frac{1}{x^2}$

(7) $-\frac{2}{x^3}$

(8) $-\frac{4}{x^5}$

(9) $-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$

(10) $-\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$

(11) $\cos x$

(12) $-\sin x$

(13) $2^x \ln 2$

(14) $e^x$

(15) $\frac{1}{x}$