$0 \leqq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式、不等式を解く。 (1) $\cos 2\theta + \sin \theta = 1$ (2) $\cos 2\theta + \sin \theta > 1$

1. 問題の内容

$0 \leqq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式、不等式を解く。

(1) $\cos 2\theta + \sin \theta = 1$

(2) $\cos 2\theta + \sin \theta > 1$

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2\theta + \sin \theta = 1$

2倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いると、

$1 - 2\sin^2 \theta + \sin \theta = 1$

$-2\sin^2 \theta + \sin \theta = 0$

$\sin \theta ( -2\sin \theta + 1) = 0$

$\sin \theta ( 2\sin \theta - 1) = 0$

よって、$\sin \theta = 0$ または $\sin \theta = \frac{1}{2}$

$\sin \theta = 0$ のとき、$\theta = 0, \pi$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

(2) $\cos 2\theta + \sin \theta > 1$

同様に2倍角の公式を用いると、

$1 - 2\sin^2 \theta + \sin \theta > 1$

$-2\sin^2 \theta + \sin \theta > 0$

$\sin \theta ( -2\sin \theta + 1) > 0$

$\sin \theta ( 2\sin \theta - 1) < 0$

よって、$\sin \theta > 0$ かつ $\sin \theta < \frac{1}{2}$ または $\sin \theta < 0$ かつ $\sin \theta > \frac{1}{2}$

後者の $\sin \theta < 0$ かつ $\sin \theta > \frac{1}{2}$ は起こりえないので、$\sin \theta > 0$ かつ $\sin \theta < \frac{1}{2}$ を考える。

$0 < \theta < \pi$ かつ $\theta < \frac{\pi}{6}, \theta > \frac{5\pi}{6}$

よって、$0 < \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta < \pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 0, \pi, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

(2) $0 < \theta < \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} < \theta < \pi$