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与えられた15個の関数を微分する問題です。 (1) $y = x^4$ (2) $y = x^6$ (3) $y = x^{100}$ (4) $y = \sqrt{x}$ ($x > 0$) (5) $y = \sqrt[4]{x^3}$ ($x > 0$) (6) $y = \frac{1}{x}$ (7) $y = \frac{1}{x^2}$ (8) $y = \frac{1}{x^4}$ (9) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ (10) $y = \frac{1}{x\sqrt{x}}$ ($x > 0$) (11) $y = \sin x$ (12) $y = \cos x$ (13) $y = 2^x$ (14) $y = e^x$ (15) $y = \log x$ ($x > 0$)

解析学微分関数の微分導関数指数関数対数関数三角関数べき関数
2025/4/28

1. 問題の内容

与えられた15個の関数を微分する問題です。
(1) y=x4y = x^4
(2) y=x6y = x^6
(3) y=x100y = x^{100}
(4) y=xy = \sqrt{x} (x>0x > 0)
(5) y=x34y = \sqrt[4]{x^3} (x>0x > 0)
(6) y=1xy = \frac{1}{x}
(7) y=1x2y = \frac{1}{x^2}
(8) y=1x4y = \frac{1}{x^4}
(9) y=1x3y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}
(10) y=1xxy = \frac{1}{x\sqrt{x}} (x>0x > 0)
(11) y=sin⁡xy = \sin x
(12) y=cos⁡xy = \cos x
(13) y=2xy = 2^x
(14) y=exy = e^x
(15) y=log⁡xy = \log x (x>0x > 0)

2. 解き方の手順

各関数を微分します。
(1) y=x4y = x^4
dydx=4x4−1=4x3\frac{dy}{dx} = 4x^{4-1} = 4x^3
(2) y=x6y = x^6
dydx=6x6−1=6x5\frac{dy}{dx} = 6x^{6-1} = 6x^5
(3) y=x100y = x^{100}
dydx=100x100−1=100x99\frac{dy}{dx} = 100x^{100-1} = 100x^{99}
(4) y=x=x12y = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
dydx=12x12−1=12x−12=12x\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
(5) y=x34=x34y = \sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}
dydx=34x34−1=34x−14=34x4\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}
(6) y=1x=x−1y = \frac{1}{x} = x^{-1}
dydx=−1x−1−1=−x−2=−1x2\frac{dy}{dx} = -1x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}
(7) y=1x2=x−2y = \frac{1}{x^2} = x^{-2}
dydx=−2x−2−1=−2x−3=−2x3\frac{dy}{dx} = -2x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}
(8) y=1x4=x−4y = \frac{1}{x^4} = x^{-4}
dydx=−4x−4−1=−4x−5=−4x5\frac{dy}{dx} = -4x^{-4-1} = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}
(9) y=1x3=1x13=x−13y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{-\frac{1}{3}}
dydx=−13x−13−1=−13x−43=−13x43\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}
(10) y=1xx=1x⋅x12=1x32=x−32y = \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = x^{-\frac{3}{2}}
dydx=−32x−32−1=−32x−52=−32x52=−32x2x\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}-1} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}} = -\frac{3}{2x^{\frac{5}{2}}} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}
(11) y=sin⁡xy = \sin x
dydx=cos⁡x\frac{dy}{dx} = \cos x
(12) y=cos⁡xy = \cos x
dydx=−sin⁡x\frac{dy}{dx} = -\sin x
(13) y=2xy = 2^x
dydx=2xlog⁡2\frac{dy}{dx} = 2^x \log 2
(14) y=exy = e^x
dydx=ex\frac{dy}{dx} = e^x
(15) y=log⁡xy = \log x (底がeの自然対数と解釈します)
dydx=1x\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}

3. 最終的な答え

(1) 4x34x^3
(2) 6x56x^5
(3) 100x99100x^{99}
(4) 12x\frac{1}{2\sqrt{x}}
(5) 34x4\frac{3}{4\sqrt[4]{x}}
(6) −1x2-\frac{1}{x^2}
(7) −2x3-\frac{2}{x^3}
(8) −4x5-\frac{4}{x^5}
(9) −13x43-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}
(10) −32x2x-\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}
(11) cos⁡x\cos x
(12) −sin⁡x-\sin x
(13) 2xlog⁡22^x \log 2
(14) exe^x
(15) 1x\frac{1}{x}

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