$\theta$ の範囲が $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、以下の関数の最大値、最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める問題です。 (1) $y = 2\cos^2\theta - 2\cos\theta - 1$ (2) $y = 2\tan^2\theta + 4\tan\theta + 5$

1. 問題の内容

$\theta$ の範囲が $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、以下の関数の最大値、最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める問題です。

(1) $y = 2\cos^2\theta - 2\cos\theta - 1$

(2) $y = 2\tan^2\theta + 4\tan\theta + 5$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2\cos^2\theta - 2\cos\theta - 1$

$\cos\theta = t$ とおくと、 $0 \le \theta < 2\pi$ より $-1 \le t \le 1$ です。

すると、$y = 2t^2 - 2t - 1$ となります。

これを平方完成すると、

$y = 2(t^2 - t) - 1 = 2(t - \frac{1}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = 2(t - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$

となります。

$-1 \le t \le 1$ であるから、

$t = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $y = -\frac{3}{2}$ をとり、このとき $\cos\theta = \frac{1}{2}$ なので、 $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ です。

$t = -1$ のとき最大値 $y = 2(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 2 + 2 - 1 = 3$ をとり、このとき $\cos\theta = -1$ なので、 $\theta = \pi$ です。

(2) $y = 2\tan^2\theta + 4\tan\theta + 5$

$\tan\theta = t$ とおくと、$y = 2t^2 + 4t + 5$ となります。

これを平方完成すると、

$y = 2(t^2 + 2t) + 5 = 2(t + 1)^2 - 2 + 5 = 2(t+1)^2 + 3$

となります。

$\tan\theta$ の範囲は実数全体であるため、$t$ の範囲は制限されません。

したがって、$t = -1$ のとき最小値 $y = 3$ をとり、このとき $\tan\theta = -1$ なので、 $\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ です。

ただし、$t$ がどのような値を取っても、$y$ は $3$ より小さくなることはありませんが、$t$ を大きくしたり小さくしたりすると、$y$ は限りなく大きくなります。

したがって、最大値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1)

最大値: $3$ ($\theta = \pi$ のとき)

最小値: $-\frac{3}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のとき)

(2)

最大値: なし

最小値: $3$ ($\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ のとき)