与えられた4つの積分を計算します。 (1) $\int \frac{3}{x(1 - \log x^3)^2} dx$ (2) $\int \frac{1}{1 + \cos x} dx$ (3) $\int_{0}^{1} x^2 e^{2x} dx$ (4) $\int_{0}^{2\pi} \cos \theta \cos(\theta - \phi) d\theta$, ここで $\phi$ は定数。

1. 問題の内容

与えられた4つの積分を計算します。

(1) $\int \frac{3}{x(1 - \log x^3)^2} dx$

(2) $\int \frac{1}{1 + \cos x} dx$

(3) $\int_{0}^{1} x^2 e^{2x} dx$

(4) $\int_{0}^{2\pi} \cos \theta \cos(\theta - \phi) d\theta$, ここで $\phi$ は定数。

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{3}{x(1 - \log x^3)^2} dx$

まず、$u = 1 - \log x^3$ と置換します。

$du = -\frac{3}{x} dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{3}{x(1 - \log x^3)^2} dx = \int \frac{-1}{u^2} du = \frac{1}{u} + C = \frac{1}{1 - \log x^3} + C$

(2) $\int \frac{1}{1 + \cos x} dx$

半角の公式を用いて、

$1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ となるので、

$\int \frac{1}{1 + \cos x} dx = \int \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx = \int \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx = \tan \frac{x}{2} + C$

(3) $\int_{0}^{1} x^2 e^{2x} dx$

部分積分を2回用います。

$\int x^2 e^{2x} dx = \frac{1}{2} x^2 e^{2x} - \int x e^{2x} dx = \frac{1}{2} x^2 e^{2x} - (\frac{1}{2} x e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} dx) = \frac{1}{2} x^2 e^{2x} - \frac{1}{2} x e^{2x} + \frac{1}{4} e^{2x} + C$

したがって、

$\int_{0}^{1} x^2 e^{2x} dx = [\frac{1}{2} x^2 e^{2x} - \frac{1}{2} x e^{2x} + \frac{1}{4} e^{2x}]_{0}^{1} = (\frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{2} e^2 + \frac{1}{4} e^2) - (0 - 0 + \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} e^2 - \frac{1}{4}$

(4) $\int_{0}^{2\pi} \cos \theta \cos(\theta - \phi) d\theta$

積和の公式を用いて、

$\cos \theta \cos(\theta - \phi) = \frac{1}{2} [\cos(2\theta - \phi) + \cos \phi]$ となるので、

$\int_{0}^{2\pi} \cos \theta \cos(\theta - \phi) d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} [\cos(2\theta - \phi) + \cos \phi] d\theta = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} \sin(2\theta - \phi) + \theta \cos \phi]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} [(\frac{1}{2} \sin(4\pi - \phi) + 2\pi \cos \phi) - (\frac{1}{2} \sin(-\phi) + 0)] = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} (-\sin \phi) + 2\pi \cos \phi + \frac{1}{2} \sin \phi] = \pi \cos \phi$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{1 - \log x^3} + C$

(2) $\tan \frac{x}{2} + C$

(3) $\frac{1}{4} e^2 - \frac{1}{4}$

(4) $\pi \cos \phi$