$-1 \le x \le 2$ を満たすすべての $x$ に対して、不等式 $4x^3 - 3x^2 - 6x - a + 2 > 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$-1 \le x \le 2$ を満たすすべての $x$ に対して、不等式 $4x^3 - 3x^2 - 6x - a + 2 > 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = 4x^3 - 3x^2 - 6x + 2$ とおく。 $-1 \le x \le 2$ において、$f(x) > a$ が常に成り立つような $a$ の範囲を求めればよい。そのためには、$f(x)$ の $-1 \le x \le 2$ における最小値を求める。

まず、$f(x)$ の導関数を計算する。

$f'(x) = 12x^2 - 6x - 6 = 6(2x^2 - x - 1) = 6(2x+1)(x-1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は、$x = -\frac{1}{2}, 1$ である。

$-1 \le x \le 2$ における $f(x)$ の増減表は以下のようになる。

| x | -1 | ... | -1/2 | ... | 1 | ... | 2 |

|------|------|------|------|------|------|------|------|

| f'(x)| | + | 0 | - | 0 | + | |

| f(x) | | ↑ | | ↓ | | ↑ | |

$f(-1) = -4 - 3 + 6 + 2 = 1$

$f(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{8}) - 3(\frac{1}{4}) - 6(-\frac{1}{2}) + 2 = -\frac{1}{2} - \frac{3}{4} + 3 + 2 = 4.25 = \frac{17}{4}$

$f(1) = 4 - 3 - 6 + 2 = -3$

$f(2) = 4(8) - 3(4) - 6(2) + 2 = 32 - 12 - 12 + 2 = 10$

$-1 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値は $f(1) = -3$ である。

したがって、$-3 > a$ であれば、$4x^3 - 3x^2 - 6x + 2 > a$ は常に成り立つ。

よって、$a < -3$

3. 最終的な答え

$a < -3$