関数 $y = \cos^2 \theta - \sin \theta + 1$ について、$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲における最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos^2 \theta - \sin \theta + 1$ について、$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲における最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 \theta$ を $\sin \theta$ を用いて表します。

三角関数の恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ となります。

これを元の式に代入すると、

$y = 1 - \sin^2 \theta - \sin \theta + 1 = - \sin^2 \theta - \sin \theta + 2$

ここで、$t = \sin \theta$ とおくと、$y = -t^2 - t + 2$ となります。また、$0 \leq \theta < 2\pi$ より $-1 \leq t \leq 1$ です。

次に、$y$ を $t$ について平方完成します。

$y = -(t^2 + t) + 2 = - (t + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 2 = - (t + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

これは、$t = - \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{9}{4}$ をとり、$t = 1$ のとき最小値 $-1^2 - 1 + 2 = 0$ をとります。

$t = - \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\sin \theta = - \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ です。

$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲では、$\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ です。

$t = 1$ となる $\theta$ は、$\sin \theta = 1$ を満たす $\theta$ です。

$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲では、$\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{9}{4}$ ($\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ のとき)

最小値: $0$ ($\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき)