50人の人にAとBの2問のクイズを出題した。Aを正解した人は27人、Bを正解した人は13人、AとBの両方を正解した人は4人である。AとBの少なくとも一方を正解した人は何人か求めよ。

はい、承知いたしました。問題文に書かれている問題を解いていきます。

**2.の問題**

1. 問題の内容

50人の人にAとBの2問のクイズを出題した。Aを正解した人は27人、Bを正解した人は13人、AとBの両方を正解した人は4人である。AとBの少なくとも一方を正解した人は何人か求めよ。

2. 解き方の手順

Aを正解した人の集合をA、Bを正解した人の集合をBとする。

問題文より、

$n(A) = 27$

$n(B) = 13$

$n(A \cap B) = 4$

AとBの少なくとも一方を正解した人の数$n(A \cup B)$は、包除原理より、

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

である。

与えられた値を代入すると、

$n(A \cup B) = 27 + 13 - 4 = 36$

3. 最終的な答え

36人

**3.の問題**

1. 問題の内容

全体集合をUとする。$n(U) = 50$, $n(A \cup B) = 42$, $n(A \cap B^c) = 15$, $n(A \cap B) = 3$であるとき、次の集合の要素の個数を求めよ。

(1) $A \cap B$

(2) $A^c \cap B$

(3) $A$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$

問題文より$n(A \cap B) = 3$

(2) $A^c \cap B$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$より、

$n(A) + n(B) = n(A \cup B) + n(A \cap B) = 42 + 3 = 45$

また、$n(A) = n(A \cap B^c) + n(A \cap B) = 15 + 3 = 18$

したがって、$n(B) = 45 - n(A) = 45 - 18 = 27$

$B = (A^c \cap B) \cup (A \cap B)$であり、$(A^c \cap B)$と$(A \cap B)$は互いに素だから、

$n(B) = n(A^c \cap B) + n(A \cap B)$

したがって、$n(A^c \cap B) = n(B) - n(A \cap B) = 27 - 3 = 24$

(3) $A$

すでに求めてあるが、$n(A) = n(A \cap B^c) + n(A \cap B) = 15 + 3 = 18$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 24

(3) 18

**4.の問題**

1. 問題の内容

500以上1000以下の整数のうち、11の倍数であるが3の倍数でない整数は何個あるか。

2. 解き方の手順

500以上1000以下の11の倍数の個数を求める。

500以上で最小の11の倍数は$11 \times 46 = 506$

1000以下で最大の11の倍数は$11 \times 90 = 990$

したがって、500以上1000以下の11の倍数は$90 - 46 + 1 = 45$個ある。

500以上1000以下の11の倍数であって、かつ3の倍数であるものの個数を求める。

11の倍数でかつ3の倍数であるということは、33の倍数ということである。

500以上で最小の33の倍数は$33 \times 16 = 528$

1000以下で最大の33の倍数は$33 \times 30 = 990$

したがって、500以上1000以下の33の倍数は$30 - 16 + 1 = 15$個ある。

求める個数は、500以上1000以下の11の倍数の個数から、500以上1000以下の33の倍数の個数を引けばよい。

$45 - 15 = 30$

3. 最終的な答え

30個