全体集合$U$とその部分集合$A, B$について、$n(U)=50$, $n(A \cup B) = 42$, $n(A \cap B) = 3$, $n(\overline{A} \cap B) = 15$が与えられています。以下の集合の要素の個数を求めます。 (1) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (2) $A \cap \overline{B}$ (3) $A$

1. 問題の内容

全体集合$U$とその部分集合$A, B$について、$n(U)=50$, $n(A \cup B) = 42$, $n(A \cap B) = 3$, $n(\overline{A} \cap B) = 15$が与えられています。以下の集合の要素の個数を求めます。

(1) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(2) $A \cap \overline{B}$

(3) $A$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A} \cap \overline{B}$ の要素の個数を求める。

ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$です。

したがって、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B})$となります。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$なので、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 50 - 42 = 8$です。

(2) $A \cap \overline{B}$ の要素の個数を求める。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$です。

また、$n(B) = n(A \cap B) + n(\overline{A} \cap B)$なので、$n(B) = 3 + 15 = 18$です。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$より、$42 = n(A) + 18 - 3$なので、$n(A) = 42 - 18 + 3 = 27$です。

$n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \overline{B})$より、$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$なので、$n(A \cap \overline{B}) = 27 - 3 = 24$です。

(3) $A$ の要素の個数を求める。

上記(2)の手順で $n(A) = 27$と求まっています。

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 8$

(2) $n(A \cap \overline{B}) = 24$

(3) $n(A) = 27$