母音 a, i, u, e, o と子音 k, s, t の8個を1列に並べるとき、以下の条件を満たす並べ方は何通りあるか。 (1) 両端が母音である。 (2) 母音5個が続いて並ぶ。

1. 問題の内容

母音 a, i, u, e, o と子音 k, s, t の8個を1列に並べるとき、以下の条件を満たす並べ方は何通りあるか。

(1) 両端が母音である。

(2) 母音5個が続いて並ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 両端が母音である場合

8個の文字を並べる。両端が母音である必要がある。母音は a, i, u, e, o の5個ある。

まず、左端に母音を並べる方法は5通りある。

次に、右端に母音を並べる方法は、左端に使った母音以外の4通りある。

残りの6個の文字（母音3個と子音3個）を並べる方法は $6!$ 通りある。

よって、両端が母音である並べ方の総数は、

$5 \times 4 \times 6! = 20 \times 720 = 14400$ 通り。

(2) 母音5個が続いて並ぶ場合

母音5個を一つの塊と考える。

子音3個と母音の塊1個で、合計4個のものを並べる。

これらを並べる方法は $4!$ 通り。

母音5個の塊の中で、母音を並べる方法は $5!$ 通り。

よって、母音5個が続いて並ぶ並べ方の総数は、

$4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 両端が母音である並べ方の総数は 14400 通り。

(2) 母音5個が続いて並ぶ並べ方の総数は 2880 通り。