全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ について、$n(U) = 50$, $n(A \cup B) = 42$, $n(A \cap B) = 3$, $n(\overline{A \cup B}) = 15$ が与えられています。このとき、以下の集合の要素の個数を求めます。 (1) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ (2) $n(A \cap \overline{B})$ (3) $n(A)$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ について、$n(U) = 50$, $n(A \cup B) = 42$, $n(A \cap B) = 3$, $n(\overline{A \cup B}) = 15$ が与えられています。このとき、以下の集合の要素の個数を求めます。

(1) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

(2) $n(A \cap \overline{B})$

(3) $n(A)$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ を求める。

ド・モルガンの法則より $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ です。

したがって、 $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B})$ です。

問題文より、$n(\overline{A \cup B}) = 15$ なので、

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 15$ となります。

(2) $n(A \cap \overline{B})$ を求める。

まず、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ という公式を使います。

$n(A \cup B) = 42$、$n(A \cap B) = 3$ より、 $42 = n(A) + n(B) - 3$

したがって、$n(A) + n(B) = 45$ です。

次に、$n(U) = n(A \cup B) + n(\overline{A \cup B})$ より、

$50 = 42 + n(\overline{A \cup B})$ なので、 $n(\overline{A \cup B}) = 8$ となります。これは問題文の$n(\overline{A \cup B}) = 15$と矛盾しています。問題文の$n(\overline{A \cup B}) = 15$を使うことにします。

$n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \overline{B})$より、$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$です。

$n(A \cup B) = n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) + n(A \cap B)$なので、

$42 = n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) + 3$ より、

$n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) = 39$となります。

$n(U) = n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) + n(A \cap B) + n(\overline{A \cup B})$

$50 = n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) + 3 + 15$

$50 = n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) + 18$

$n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) = 32$

$n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) = 39$と$n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) = 32$ は矛盾しています。問題文が間違っている可能性があります。

$n(\overline{A \cup B}) = 50 - 42 = 8$ より、$n(\overline{A \cup B}) = 8$とします。

すると、$n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) = 42 - 3 = 39$

また、$n(U) = n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) + n(A \cap B) + n(\overline{A \cup B})$なので、

$50 = n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) + 3 + 8$

$50 = n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) + 11$

$n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) = 39$

$n(A) = n(A \cap \overline{B}) + n(A \cap B)$より、$n(A) = n(A \cap \overline{B}) + 3$

$n(B) = n(B \cap \overline{A}) + n(A \cap B)$より、$n(B) = n(B \cap \overline{A}) + 3$

$n(A) + n(B) = n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) + 6 = 39 + 6 = 45$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$より、$42 = n(A) + n(B) - 3$

$n(A) + n(B) = 45$

$n(A) + n(B) = 45$なので、これで矛盾はありません。

$A \cap B$ の要素数から $A$ の要素数を求めることを考えます。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = n(U) - n(\overline{A \cup B})$

$n(A) = n((A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})) = n(A \cap B) + n(A \cap \overline{B})$

$n(A) = 3 + n(A \cap \overline{B})$

問題文の条件だと、$n(\overline{A \cup B}) = 8$と考えるのが妥当です。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$42 = n(A) + n(B) - 3$

$n(A) + n(B) = 45$

$50 = n(A \cup B) + n(\overline{A \cup B})$より、$n(\overline{A \cup B}) = 50 - 42 = 8$

$n(A) = n(A \cap \overline{B}) + n(A \cap B) = n(A \cap \overline{B}) + 3$

$n(A \cap \overline{B}) = 45 - n(B) - 3$

情報が足りず、$n(A \cap \overline{B})$を求めることができません。

$n(A)=x$とすると、$42=x+n(B)-3$より、$n(B)=45-x$

$n(B \cap \overline{A}) = n(B) - n(A \cap B) = 45-x-3=42-x$

$39=n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) = x-3+42-x = 39$

$x-3+42-x=39$

$39 = n(A \cap \overline{B})+n(B \cap \overline{A})$なので、

$n(A \cap \overline{B})=x-3$

$n(B \cap \overline{A})=42-x$

$n(A)=x$

(3) $n(A)$ を求める。

$n(U) = n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) + n(A \cap B) + n(\overline{A \cup B})$

$50 = n(A) - 3 + n(B) - 3 + 3 + 8$

$50 = n(A) + n(B) + 2$

$n(A) + n(B) = 48$

$42 = n(A) + n(B) - 3$なので、$n(A) + n(B) = 45$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 15$

(2) $n(A \cap \overline{B}) = n(A)-3$

(3) $n(A)$ の値を一意に定めることができない。問題文の設定が誤っている可能性があります。仮に$n(\overline{A \cup B})=8$とすると、 $n(A)=x$とおくと、$n(A \cap \overline{B})=x-3$となる。